Doppelsumme einfacher berechnen?

Question

$$\sum_{k=1}^{10} \sum_{i=-5}^{5}\left[\ln \left(k^{2}+k\right) \cdot i\right]$$

Bei dieser Doppelsumme tue ich mich schwer, dies mit der Hand zu berechnen, da über 100 Kombinationen addiert werden müssen. Gibt es einen allgmeinen "Trick", wie man bei Doppelsummen schneller voran kommt, per Hand?

Comments

Und wie ist es bei dieser Doppelsumme?:

$$\sum_{m=2}^{6} \sum_{n=0}^{39}(m n-2 m-4)$$

Answer 1

∑ (k = 1 bis 10) (∑ (i = -5 bis 5) (LN(k^2 + k)·i))

k ist in der inneren Summe konstant und kann rausgezogen werden.

= ∑ (k = 1 bis 10) (LN(k^2 + k)·∑ (i = -5 bis 5) (i))

Nun ist die Summe recht trivial und kann vereinfacht werden.

= ∑ (k = 1 bis 10) (LN(k^2 + k)·0)

= ∑ (k = 1 bis 10) (0)

= 0

Answer 2

Die innere Summe besteht aus 10 Summanden, die Sie paarweise zu 0 ergänzen. Also ist auch die äußere Summe gleich 0.

Answer 3

Betrachte doch erstmal die innere Summe:

$$ \sum_{i=-5}^{5}\left[\ln \left(k^{2}+k\right) \cdot i\right] = \ln(k^2+k) \sum_{i=-5}^5 i = \ln(k^2 + k) \cdot 0 = 0 $$

und damit

$$ \sum_{k=1}^{10} \sum_{i=-5}^{5}\left[\ln \left(k^{2}+k\right) \cdot i\right] = \sum_{k=1}^{10} 0 = 10 \cdot 0 = 0$$