Geben Sie die Anzahl der Schnittpunkte dieser Geraden mit Gf in Abhängigkeit von m an

Question

Aufgabe:

Gegeben ist die Fkt. mit f(x) = -x³ + 3x²  -2x        und x ∈ IR. Die Abbildung zeigt ihren Grafen G_f, der bei x=1 den Wendepunkt W hat. Betrachtet werden die Geraden mit positiver Steigung m, die durch W verlaufen. Geben Sie die Anzahl der Schnittpunkte dieser Geraden mit G_f in Abhängigkeit von m an.

Problem/Ansatz:

Kann mir jemand erklären, was diese Aufgabenstellung genau von mir verlangt?

Die Lösung ist: Die Anzahl der Schnittpunkte ist 3 für 0 < m < 1 und 1 für m ≥ 1

Answer 1

f(x) = -x^3 + 3·x^2 - 2·x

f(1) = 0 → W(1 | 0)

g(x) = m·(x - 1) = m·x - m

-x^3 + 3·x^2 - 2·x = m·x - m

-x^3 + 3·x^2 - 2·x = m·x - m

x^3 - 3·x^2 + m·x + 2·x - m = 0 → Eine Nullstelle ist garantiert der Schnittpunkt x = 1

(x^3 - 3·x^2 + m·x + 2·x - m) / (x - 1) = x^2 - 2·x + m

x^2 - 2·x + m = 0 --> x = 1 ± √(1 - m)

Wann gibt es hier keine Lösung → m > 1

Genau eine Lösung → m = 1

Genau 2 Lösungen → m < 1

Für das jeweilige m gibt es also vieviele Lösungen

m > 1 → nur einen Schnittpunkt

m = 1 → einen Schnittpunkt der Berührpunkt ist

m < 1 → drei Schnittpunkte

Hier eine Skizze

Answer 2

Wenn eine Gerade durch den Wendepunkt verläuft und einen Anstieg hat, der größer als 0, aber kleiner als 1 ist, dann schneidet die Gerade den Graphen von f in insgesamt 3 Punkten.

Wenn eine Gerade durch den Wendepunkt verläuft und einen Anstieg hat, der größer als  1 ist, dann schneidet die Gerade den Graphen von f nur im Wendepunkt (also in genau einem Punkt).

Kann mir jemand erklären, was diese Aufgabenstellung genau von mir verlangt?

Die Aufgabenstellung verlangt von dir, dass du obiges erkennst und dann aufschreibst.

PS: Um auf diese Erkenntnis zu kommen ist es hilfreich, wenn man vorher den Anstieg der Wendetangente bestimmt hat.

Woher stammt eigentlich diese interessante Aufgabe?

Comments

Ist vom Institut zur Qualitätsentwicklung im Bildungswesen → Aufgabenpool Mathe 2018  --> erhöhtes Anforderungsniveau → Analysis Aufgabe 2

https://www.iqb.hu-berlin.de/abitur/pools2018/mathematik/erhoeht