Warum darf man statt ln (a) = ln (b) auch e^{ln(a)} = e^{ln (b)} schreiben?

Question

Aufgabe: Warum darf man statt ln (a) = ln (b) auch e^{ln(a)} = e^{ln (b)}  schreiben?

Answer 1

Das Anwenden der Exponentialfunktion auf beiden Seiten der Gleichung ist eine Äquivalenzumformung.

gilt also

a = b

dann gilt auch

e^a = e^b

und umgekehrt.

Comments

OK, aber warum ist da so? Wie leitet man das aus der Definition von ln (a) bzw. e^(ln (a) ab?

Answer 2

Die Exponentialfunktion ist bijektiv. Das heißt, wenn du weiß a=e^b, dann bekommst du jederzeit b raus und es gibt nur genau ein b, welches das erfüllt (jedenfalls in den reellen Zahlen). Zudem ist es eine Äquivalenz. Wenn also a=b dann auch e^a=e^b. Dass die Rückrichtung gilt, folgt aus der Bijektivität.

War das deine Frage?

Comments

Das war nicht genau meine Frage. Ich bin mit dem Problem konfrontiert, dass ein Mathe-Lehrer eine Gleichung ln(a) = ln(b) im nächsten Schritt zu e^(ln(a)) = e^(ln(b) umformt. Diese Äquivalenz verstehe ich nicht. Was ich verstehe, ist die Äquivalenz von a=b und e^a = e^b. Dann bleibe ich stecken.

---

Na definier dir doch c=ln(a), d=ln(b).

Nun gilt c=d und somit e^c=e^d richtig? Also gilt e^(ln a)=e^(ln b)

Dazu gibt es keine Herleitung. Das ist einfach so, weil auf beiden Seiten des = dasselbe steht. Wenn c=d gilt, dann gilt für jede beliebige Funktion f(c)=f(d), weil c=d. Du kannst die also beliebig austauschen.

Hast du das verstanden?

---

Ja, danke! G.R.