Berechnen der Lösungsmenge a mit Hilfe der Eulerformel: (cos(pi/3)) + sin(pi/3))^a = 1

Question

Aufgabe:

Berechnen Sie mit der Eulerformel alle Lösungen a ∈ Z der Gleichung

$$\left(\cos \left(\frac{\pi}{3}\right)+i \sin \left(\frac{\pi}{3}\right)\right)^{a}=1$$

Problem/Ansatz:

Mir ist soweit klar, dass man jeweils das vielfache es bestimmten Wertes von a, an dem das sin-Glied 1 ist und das cos-Glied 0 ist braucht, aber irgendwie komme ich nicht sinnvoll weiter

Answer 1

$$\left(\cos \left(\frac{\pi}{3}\right)+i \sin \left(\frac{\pi}{3}\right)\right)^{a}=\left( e^\frac{i\pi}{3} \right)^{a}$$

$$=\left( e^\frac{i\pi a}{3}\right)$$

$$=\left(\cos \left(\frac{\pi}{3}a\right)+i \sin \left(\frac{\pi}{3}a\right)\right)=1$$

Comments

Ja das ist mir soweit klar, wie löse ich jetzt nach a auf?

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Wo ist der Cos(x)= 1 ?

$$cos \left(2 k\pi\right)=1$$

Also $$2 k\pi=\frac{\pi}{3}a$$

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Oh Gott, hab vielen Dank, dass passiert, wenn man den ganzen Tag am Schreibtisch hockt... Da hat man manchmal eine Denkblockade