Beweis Pythagoräisches Zahlentripel

Question

Aufgabe:

Behauptung:

Für zwei ganze Zahlen u, v mit v > u erhält man durch

      a = v² – u²    b = 2uv      c = v² + u²

pythagoreisches Zahlentripel

Die Behauptung soll allgemein bewiesen werden.

Allein der Anblick macht mich ratlos. Beweise konnte ich bisher nur mit Hilfe erstellen. Dies ist  mir zu neu und schwer.

Wie wird so etwas gemacht?

Comments

https://de.wikipedia.org/wiki/Pythagoreisches_Tripel#Beweis_der_Identit%C3%A4t

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Es gilt c² - a² = (c - a)(c + a) = 2u²·2v² = 4u²v² = (2uv)² = b².

Answer 1

Kannst auch einfach alles einsetzen in a^2 + b^2 = c^2

dann bekommst du

u^4 + 2u^2 *v^2 +u^4 = ( v² + u²)^2

was offenbar stimmt.

Comments

Das sieht doch überschaubar aus. Mal sehen, ob ich das nachmachen kann.

Answer 2

Euklid hat zunächst die Schnittpunkte von Einheitskreis (1) x²+y²=1 und Gerade (2) y=\( \frac{m}{n} \) ·(x+1) bestimmt. Das sind P₀(-1|0) und P₁(\( \frac{n ^2-m^2}{n^2+m^2} \) |\( \frac{2mn}{m^2+n^2} \)). Nun kann man setzen: x=\( \frac{a}{c} \) und y=\( \frac{b}{c} \). Dann wird nach Einsetzen und etwas Umformung (1) zu a²+b²=c² und (x|y) =(\( \frac{n ^2-m^2}{n^2+m^2} \) |\( \frac{2mn}{m^2+n^2} \)). x=\( \frac{a}{c} \) und y=\( \frac{b}{c} \) einsetzen. Jetzt ist auch klar, was a, b und c sein sollen.