Differenzierbarkeit / Bestimmung der Ableitung mit Hilfe der Definition

Question

Gegeben sind die Faktoren

f : x → x³ – x²  mit x ∈ ℝ

g : x → x² + 4x  mit  x ∈ ℝ

h : x → { –x² – 4x – 2  für x < –1, x ∈ ℝ

h : x → { 0,5x + 1,5  für x ≥ –1, x ∈ ℝ

Aufgabenstellung:

a) Berechnen Sie die Abteilung der Funktion f an der Stelle x₀ mit Hilfe der Definition 6 durch eine Grenzwertberechnung mit der x → x₀-Methode.

b) Berechnen Sie die Ableitung der Funktion g an der Stelle x₀ mit der Hilfe der Definition 6 durch eine Grenzwertberechnung mit der h-Methode, d.h. für h → 0

c) Zeigen Sie, dass die Funktion h an der Stelle x₀ = – 1 nicht differenzierter ist, indem Sie den links- und den rechtzeitigen Grenzwert an der Stelle x₀ = –1 berechnen un diese vergleichen.

Problem/Ansatz:

So ganz verstehe ich die Frage nicht so ganz.. könnte es mir jemand vorrechnen?

Vielen Dank im voraus !

Answer 1

f ( x ) = x^3 – x^2
lim x -> x0 = [ f ( x ) - f ( x0 ) ] / ( x - x0 )
lim x -> x0 = [ ( x^3 - x^2 ) - ( x0^3 - x0^2 ) ] / ( x - x0 )
lim x -> x0 = ( x^3 - x^2 -  x0^3 + x0^2  ) / ( x - x0 )

Polynomdivision durchführen
lim x -> x0 = [  x^2 + x*x0 - x + x0^2 - x0 ]
lim x -> x0 = [  x^2 -+ x^2 - x + x^2 - x ]
3*x^2 - 2x

Comments

f = x^2 + 4x
nach der h-Methode
[ f(x+h) - f(x) ] / ( x+h - x )
[ ( (x+h)^2 + 4 * ( x + h ) ) - ( x^2 + 4x ) ] / h
[ x^2 + 2xh + h^2 + 4x + 4*h - x^2 - 4x ] / h
[ 2*x*h + 4*h + h^2 ] / h | kürzen
2x + 4 + h
lim h -> 0 [ 2x + 4 + h ] = 2x + 4
f ´( x ) = 2x + 4

---

Könnten Sie denn bitte noch einmal erläutern, wie sie die Polynomdivision durchgeführt haben? Ich blicke da nicht so recht durch:/

---

Ich habe es einmal mit einer
Polynomdivision probiert habe mich aber leider nur pausenlos verheddert.

Deshalb die Lösung mit der
delta-h Methode

f = x^3 - x^2
g = ( x + h ) ^3 - ( x + h ) ^2

g = h^3 + 3*h^2* x - h^2 + 3*h*x^2 -
2*h*x + x^3 - x^2

( g - f )  =
h^3 + 3*h^2*x - h^2 + 3*h*x^2 - 2*h*x

( g - f )  / h =
h^2 + 3*h*x - h + 3*x^2 - 2*x

h geht gegen null
3*x^2 - 2*x

Frag bitte nach bis alles klar ist.

Answer 2

Berechnen Sie die Abteilung der Funktion f an der Stelle x₀ mit Hilfe der Definition 6 durch eine Grenzwertberechnung mit der x → x₀-Methode.

\(\begin{aligned} f'\left(x_{0}\right) & =\lim_{x\to x_{0}}\frac{f\left(x\right)-f\left(x_{0}\right)}{x-x_{0}}\\ & =\lim_{x\to x_{0}}\frac{\left(x^{3}-x^{2}\right)-\left(x_{0}^{3}-x_{0}^{2}\right)}{x-x_{0}}\\ & =\dots \end{aligned}\)

Berechne den Grenzwert.

Berechnen Sie die Ableitung der Funktion g an der Stelle x₀ mit der Hilfe der Definition 6 durch eine Grenzwertberechnung mit der h-Methode, d.h. für h → 0

\(\begin{aligned} g'\left(x_{0}\right) & =\lim_{h\to0}\frac{g\left(x_{0}+h\right)-g\left(x_{0}\right)}{h}\\ & =\lim_{h\to0}\frac{\left(\left(x_{0}+h\right)^{2}+4\left(x_{0}+h\right)\right)-\left(x_{0}^{3}-x_{0}^{2}\right)}{h}\\ & =\dots \end{aligned}\)

Berechne den Grenzwert.

Zeigen Sie, dass die Funktion h an der Stelle x₀ = – 1 nicht differenzierter ist, indem Sie den links- und den rechtzeitigen Grenzwert an der Stelle x₀ = –1 berechnen un diese vergleichen.

\(\begin{aligned} \lim_{k\nearrow0}\frac{h\left(-1+k\right)-h\left(-1\right)}{k} & =\lim_{k\nearrow0}\frac{\left(-\left(-1+k\right)^{2}-4\left(-1+k\right)-3\right)-\left(-\left(-1\right)^{2}-4\cdot\left(-1\right)-3\right)}{k}\\ & =\dots\\ \lim_{k\searrow0}\frac{h\left(-1+k\right)-h\left(-1\right)}{k} & =\lim_{k\searrow0}\frac{\left(\frac{1}{2}\left(-1+k\right)+\frac{3}{2}\right)-\left(\frac{1}{2}\cdot\left(-1\right)+\frac{3}{2}\right)}{k}\\ & =\dots \end{aligned}\)

Berechne die einseitigen Grenzwerte.

Comments

f'(x₀) =\( \lim\limits_{x\to\infty} \) \( \frac{(x^3 - x^2) - (x0^3 - x0^2)}{x - x0} \)

Wie vereinfache ich das.. Wenn es geht.

Der Grenzwert ist dann 0, oder?

---

für g:x→ x² + 4x mit x ∈ ℝ

g'(x0) = \( \lim\limits_{h\to0} \) \( \frac{g(x0 + h) -g(x0)}{h} \)

⇔ \( \lim\limits_{h\to0} \) \( \frac{((x0 + h)^2 + 4 (x0+h)) - x0^3 - x0^2}{h} \)

⇔ \( \lim\limits_{h\to0} \) \( \frac{x^2 + h^2 + 4*x0 + 4h - xo^3 - x0^2}{h} \)

⇔ \( \lim\limits_{h\to0} \) = h + 4 • x₀ + 4h - x₀³   =  x₀³ + 4x₀ + 5h

⇔ \( \lim\limits_{h\to0} \) = 4x₀⁴ + 5h

richtig so?