Steckbriefaufgabe: Eine Funktion 3. Grades hat an der Stelle x=1 eine Nullstelle und geht durch den Punkt P(3|1).

Question

Aufgabe:

Eine Funktion 3. Grades hat an der Stelle x=1 eine Nullstelle und geht durch den Punkt P(3|1). Im Punkt S(2|0,5) ist die Steigung m=0. Berechne die Funktion.

Problem:

Ich habe die Aufgabe nun schon ein paar Mal versucht zu lösen. Leider bekomme ich immer falsche Lösungen (komische Brüche etc.).

Ich gleiche ab mit dem Rechner:

https://www.arndt-bruenner.de/mathe/scripts/steckbrief.htm

Ich Stelle nun im folgenden meinen letzten Versuch rein. Ich hoffe mir kann jemand helfen...

Lösungen / Hilfen schaue ich mir genau an, da ich es wirklich gerne verstehen möchte.

Ich bin für Hilfe also sehr dankbar:)

Answer 1

Eigenschaften

f(1)=0
f(3)=1
f(2)=0.5
f'(2)=0

Gleichungen

a + b + c + d = 0
27·a + 9·b + 3·c + d = 1
8·a + 4·b + 2·c + d = 1/2
12·a + 4·b + c = 0

Funktion

f(x) = 0,5·x³ - 3·x² + 6·x - 3,5

a + b + c + d = 0
27·a + 9·b + 3·c + d = 1
8·a + 4·b + 2·c + d = 1/2
12·a + 4·b + c = 0

II - I ; III - I ; IV

26·a + 8·b + 2·c = 1
7·a + 3·b + c = 1/2
12·a + 4·b + c = 0

2*II - I ; 2*III - I

-12·a - 2·b = 0
- 2·a = -1 --> a = 0.5

Jetzt kann rückwärts aufgelöst werden.

Answer 2

Hallo

 alles habe ich nicht verfolg, weil diese Einsetzungsverfahren für mich gräßlich sind, mach es lieber mit Gauss also wie Brüder es ja auch Schritt für Schritt vormacht.

 (Wenn du d als erste Variable schreibst ist es schneller.Du subtrahierst die ersten 2 Gleichungen und die erste und dritte, dann ist d weg danach ist c leicht zu entfernen.)

 sicher falsch ist 2 te Seite dritte Zeile 7a+b=1 richtig ist dort 7a+b=0,5 vielleicht ist das ja der einzige Fehler, die Gleichung darüber ist noch richtig,

Gruß lul

Comments

Okay, dann werde ich mir das ganze noch mal mit dem Gauss-Verfahren ansehen.

Der Fehler war auf jeden Fall wirklich an der genannten Stelle, dann hat alles gepasst.

Vielen Dank!

Answer 3

Probieren wir mal mit dem Vorschlag von lul weiter zu rechnen.

7a + b = 0,5

5a + b = -0,5

Subtrahieren

2a=1

a=1/2

Einsetzen

b=0,5-7a=0,5-7*0,5=-3

Einsetzen

c=-12a - 4b = -12*0,5 -4*(-3)=-6+12=6

Einsetzen

d = - a - b - c = -1/2 + 3 - 6 = -3,5

Stimmt also alles, du hast dich also nur an einer Stelle verrechnet, was natürlich macht, dass die gleichungen danach nicht mehr passen. Aber im großen und ganzen bist du doch ziemlich weit gekommen.

Answer 4

Eine Funktion 3ten Grades hat an der Stelle $x=1$ eine Nullstelle und geht durch den Punkt P$(3|1)$. Im Punkt S$(2|0,5)$ist die Steigung $m=0$.

Im Punkt S$(2|0,5)$ist die Steigung $m=0$ 

Ich verschiebe um $0,5$ Einheiten nach unten

S$(2|0,5)$→S´$(2|0)$ Da ist nun eine doppelte Nullstelle.

Weiter mit der Linearfaktorform der kubischen Parabel:

$f(x)=a(x-2)^2(x-N)$

$x=1$ eine Nullstelle →P $(1|-0,5)$

$f(1)=a(1-2)^2(1-N)=a(1-N)=-0,5$

$a=\frac{0,5}{N-1}=\frac{1}{2N-2}$:

$f(x)=\frac{1}{2N-2}(x-2)^2(x-N)$

P$(3|1)$→  P´$(3|0,5)$:

$f(3)=\frac{1}{2N-2}(3-2)^2(3-N)=0,5$

$f(3)=\frac{3-N}{2N-2}=0,5$

$N=2$    $a=\frac{1}{2}$:

um $0,5$ Einheiten nach oben

$p(x)=\frac{1}{2}(x-2)^3+0,5$

Comments

Im Punkt S(2 | 0,5) ist die Steigung m = 0. Da ist nun eine doppelte Nullstelle.

Zunächst mal hast du erst eine Nullstelle, wenn du den Graphen zunächst 0.5 Einheiten nach unten verschiebst.

Außerdem müsstest du dazu wissen, dass es ein Sattelpunkt und nicht etwa ein Extrempunkt ist. Woher nimmst du die Information?

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Zunächst mal hast du erst eine Nullstelle, wenn du den Graphen zunächst 0.5 Einheiten nach unten verschiebst.

Danke ich habe es richtig gestellt.

Außerdem müsstest du dazu wissen, dass es ein Sattelpunkt und nicht etwa ein Extrempunkt ist. Woher nimmst du die Information?

Dass es ein Sattelpunkt ist, habe ich erst gemerkt , als ich P'$(3|0,5)$ eingesetzt habe. (Die Rechnung wäre wesentlich kürzer, wenn schon am Anfang klar wäre, dass es ein Sattelpunkt ist.)

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(1 | 0)

(2 | 0.5) mit Steigung 0

(3 | 1)

Was sagt uns das unter Beachtung der Reihenfolge?

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Und deswegen nimmst du es hier in einer Vorrechnung gleich von Anfang an? Weil es dann schöner ist?

Also das kann man wie Harry Potter im Schrank unter der Treppe für sich ganz alleine machen, doch aber nicht, wenn du möchtest, dass Schüler davon lernen.

Ich bin mal wieder maßlos enttäuscht.

Nun ist zwar Gast az0815 zur Hilfe geeilt und hat es dir begründet. Sowas gehört aber in eine saubere Rechnung von Anfang an dazu.

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Schlichtweg hätte ich auch darauf kommen können, dass nach einem Maximum hier bei $x=2$ der Graph nicht noch weiter steigen kann. Außerdem ist bei den Ansätzen von 2019 auch niemand in Gefahr geraten, dass da ein Sattelpunkt ist.

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Schlichtweg hätte ich auch darauf kommen können, dass nach einem Maximum hier bei $x=2$ der Graph nicht noch weiter steigen kann.

Das ist auch verkehrt, denn wenn nach einem Maximum irgendwann ein Minimum folgt, dann steigen danach auch die Funktionswerte wieder.

Aber man kann das hier natürlich über die Symmetrie begründen. Allerdings auch nur wenn man das in Klassenstufe 10/11 wo Steckbriefaufgaben drankommen das eben schon kennt und kann.

Außerdem ist bei den Ansätzen von 2019 auch niemand in Gefahr geraten, dass da ein Sattelpunkt ist.

Natürlich nicht, weil alle bisherigen Antworten es eben genau nach Schema-F gemacht haben, wie es in der Schule gelehrt wird.

Da übersetzt man ja nur die angegebenen Bedingungen in ein lineares Gleichungssystem, was dann gelöst wird.

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Dank der Kommentare von Gast az0815 und Der_Mathecoach hier die Verbesserung:

Nullstelle bei $x=1$  ,   S$(2|0,5)$  mit $m=0$ und P$(3|1)$

Der Graph ist punktsymmetrisch zu  S$(2|0,5)$ . Somit liegt hier ein Sattelpunkt, der auch ein Wendepunkt ist.

Ich verschiebe nun den Graph um $0,5$ Einheiten nach unten. Ich erreiche hiermit eine dreifache Nullstelle bei $x=2$. Ich mache dann weiter mit der Linearfaktorform der kubischen Parabel:

$f(x)=a(x-2)^3$

P$(3|1)$ geht über in P´$(3|0,5)$:

$f(3)=a(3-2)^3=a =0,5$

$f(x)=0,5(x-2)^3$

Nun um $0,5$ Einheiten nach oben:

$p(x)=0,5(x-2)^3+0,5$