Überblick zu Unterraumschnitten mit Fokus Dimensionen?

Question

Hallo ! 

Situation:

Eine Ebene \(E\)  geschnitten mit einer Ebene \(F\) ist eine Gerade \(g\). 

Gilt hier, dass die Ebene E aus \( \mathbb{R}^2 \) geschnitten mit der Ebene E aus \( \mathbb{R}^2 \) dann immer eine Dimension kleiner ist ?

Frage
Also kann man generell sagen, dass 
Wenn zwei Unterräume zu Beispiel geschnitten werden sich ihr Durchschnitt immer um eine Dimension verringert ?

Das Problem: 
Was passiert wenn sich zwei Unterräume U1, U2 schneiden und beide Unterräume 3 Dimensoinal ( \( \mathbb{R}^3 \) ) sind ?
Anschaulich stelle ich mir zwei Würfel vor, die in sich hinüber oder hineingehen.... Dann ist aber auch ihr Schnitt \( \mathbb{R}^3 \) ....

Answer 1

Hallo limonade,
im Vektorraum ℝ³ gibt es 3 "Arten" von Unterräumen:
-  den ℝ³ selbst                             (dim = 3)
-  Ebenen, die (0, 0, 0) enthalten  (dim = 2)
-  Geraden, die (0,0,0) enthalten   (dim = 1)
- { 0, 0, 0) } = { Nullvekor }             (dim = 0)

Wenn zwei Unterräume zu Beispiel geschnitten werden sich ihr Durchschnitt immer um eine Dimension verringert ?

Ja, wenn es sich um zwei verschiedene Unterräume mit gleicher Dimension handelt und der Durchschnitt nicht leer ist.

Da die beiden Unterräume aber nicht die gleiche Dimension haben müssen, welche soll sich dann um 1 verringern?

Beispiel:

(Ebene E durch O) ∩ (Gerade g durch O)  =

             -  Gerade durch O, wenn g⊂E   ( Betragsdifferenz der Dimensionen 1)

             -  { 0, 0, 0) }, wenn g⊄E und g nicht parallel zu E

                               ( Betragsdifferenz der Dimensionen 2)

             -  {  }  , wenn  g || E und g⊄E, aber { } ist kein Unterraum.

... beide Unterräume 3-dimensoinal

Der einzige 3-dimensionale UR von ℝ³ ist ℝ³ selbst.

 Einen "echten" dreidimensionalen UR von ℝ³ gibt es nicht.

Gruß Wolfgang