Wie berechnet man die Nullstellen bei folgendem Polynom?

Question

Aufgabe:Bestimme die Lösungsmenge mit einem geeigneten Verfahren

x^5+2x^4 +x+2 =0 , x₁=2

Die Lösung , die mein Lehrer mir gegeben hat , lautet L={ -2}

ich habe bis  x^4+4x^3-8x^2+16x+33+\( \frac{68}{x-2} \) , gerechnet ,aber ich kann leider nicht weiter gehen 

Comments

Ich verstehe nicht warum da zum einen steht x_{1}=2 und zum anderen ist die Lösungsmenge -2. Was stimmt denn nun?

Answer 1

Hallo

1. x=2 einsetzen zeigt, dass es keine Nst. ist.

aber x=-2 ist eine. also durch x+2 dividieren,

dann zeigt sich dass es keine weiteren Nst. gibt.

Gruß lul

Answer 2

Wenn der Lehrer dir die Lösung L = {-2} gegeben hat, dann ist diese richtig.

x^5 + 2·x^4 + x + 2 = 0

Man setzt "-2" ein und erkennt das dies eine Nullstelle ist. Jetzt macht man eine Polynomdivision durch (x + 2).

(x^5  + 2x^4  + x  + 2) : (x + 2)  =  x^4 + 1 
x^5  + 2x^4         
—————————————————————
                x  + 2
                x  + 2
                ——————
                    0

Nun setzt man das Restpolynom gleich Null.

x^4 + 1 = 0

x^4 = -1

x^4 kann für reelle Zahlen nicht negativ werden. Daher gibt es keine weiteren Lösungen.

Comments

hallo , aber weil x₁= 2 ist , muss man denn durch (x-2) teilen , oder?

---

x_{1}=2 Ist keine Lösung, Was man durch einsetzen einfach herausfinden kann.

Answer 3

Rechne:

x^5+2x^4+x+2 = 0

(x+2)*x^4+(x+2)*1 = 0

(x+2)*(x^4+1) = 0

Damit:

(i) x+2 = 0

(ii) x^4+1 = 0

Grüße