Maximum eines Integrals (e-Funktion): 0,31*e^{-0,25x²}+1,25x dx

Question

Aufgabe:

Für 1,5<=a<=4,5 ist die Funktion z definiert durch die Gleichung (oben angegeben) z(a).

Berechnen Sie die absolute Maximalstelle der Funktion im Intervall I[1.5;4.5].

$$z(a) = \int_{a}^{a+1} \left(0.31\cdot e^{-0.25\cdot x^{2} + 1.25\cdot x} \right) \text{ d}x, \quad a\in\left[1.5;4.5\right]$$

Es geht darum, das Maximum eines Integrals zu bestimmen, wobei die Funktion eine Exponentialfunktion ist.

Mein Problem ist, dass ich nicht weiß, wie man das Maximum des Integrals bestimmen soll. Nun kommt noch hinzu, dass die unteren und oberen Grenzen jeweils Variablen haben. Zu erwähnen ist auch, dass die oben dargestellte Funktion die Ableitungsfunktion ist.

In der Lösung kommt für a=2 heraus und es wurde die Ableitungsfunktion von z gebildet.

Answer 1

Wie es scheint, geht es darum, die Funktion $$ z(a) = \int_{a}^{a+1} \left(0.31\cdot e^{-0.25\cdot x^{2} + 1.25\cdot x}\right) \text{ d}x, \quad a\in\left[1.5;4.5\right] $$ zu maximieren. Kandidaten für Hochstellen sind neben den beiden Rändern des Definitionsbereichs die Nullstellen ihrer ersten Ableitung $$ z'(a) = 0.31\cdot\left( e^{-0.25\cdot (a+1)^{2} + 1.25\cdot (a+1)} - e^{-0.25\cdot a^{2} + 1.25\cdot a} \right). $$ Das Vereinfachen der Bestimmungsgleichung $$z'(a)=0$$ führt recht schnell auf eine lineare Gleichung mit der Lösung \(a=2\).

Comments

muss man denn nicht hier mit dem Integral arbeiten?

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Das habe ich gemacht, indem ich es abgeleitet habe.

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wurde dieser rechenschritt denn angeschrieben, weil ich erkenne es nicht.

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Das, was da steht, ist der ganze Rechenschritt, abgesehen davon, dass ich noch 0.31 ausgeklammert habe.

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tut mit leid für die frage, aber ich sehe es gerade nur so,dass du a und a+1 in die ableitungsfunktion eingesetzt hast

ich dachte beim integral muss man den hauptsatz anwenden

zb f=x^2 &dann F=1/3x^3

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Ja schon, aber da wir ja gar nicht an der Stammfunktion interessiert sind – schließlich wollen wir die als Integral formulierte Funktion ja ableiten – müssen wir die Stammfunktion doch gar nicht erst bilden, da wir schon vorher wissen können, was nach dem Ableiten herauskommt.

Answer 2

Deine Angaben sind meiner Meinung nach voller Fehler
r ( x ) = 0.31* e hoch (-0,25*x^2) + 1,25 * x
heißt es jetzt
r ( t ) = 0.31* e hoch (-0,25*t^2 + 1,25 * t  )
dann
z ( a ) ∫_a ^a+1    r ( t ) dt
ist mathematisch nicht haltbar. Es muß heißen
z ( t ) ∫_a ^a+1   r ( t ) dt
Ohne Foto der Originalaufgabe kann ich dir
leider nicht helfen.