Für welche c ist die Funktion f(x) injektiv bzw. surjektiv (zwei verschiedene Funktionen für x ≤ 13 oder x > 13)?

Question

ich habe Schwierigkeiten bei folgender Aufgabe:

Sei f: ℝ_>-3 → ℝ mit

f(x) = log₄ (x + 3) + 2, falls x ≤ 13

f(x) = 2^{(x - 13)} + c, falls x > 13

und sei c ∈ ℝ.

1. Für welche c ∈ ℝ ist f injektiv?

2. Für welche c ∈ ℝ ist f surjektiv?

Es gibt noch einen Hinweis: Führen Sie jeweils (geschachtelte) Fallunterscheidungen durch.

Ich habe schon versucht allgemein für f(x) = log₄ (x + 3) + 2 zu zeigen, dass diese Funktion surjektiv und injektiv ist, da hier kein c vorkommt, aber ich glaube, das ist etwas sinnlos bei dieser Aufgabe. Es ist logisch, dass man für x nur reelle Zahlen größer als -3 einsetzen darf, sonst wäre der Klammerausdruck des Logarithmus 0 oder negativ.

Aber ich verstehe nicht, wie ich das Ganze jetzt angehen soll. Was macht dieses c aus und wie zeige ich, für welche c, f injektiv bzw. surjektiv ist?

Ich bedanke mich für Lösungen bzw. Lösungsansätze!

MfG

Answer 1

Hallo

die Funktion ist ja stückweise definiert, im Intervall (-3,13) ist sie stetig, monoton und deshalb objektiv, es werden die Werte von -oo bis 4 erreicht.

wenn die 2.te Funktion Werte unter 4 annimmt ist das ganze nicht mehr injektiv, wenn sie nur Werte >=2 erreicht ist sie das,  also injektiv für alle c>=2

 surjektiv dann nur für ein c, das findest du sicher.

so lange das nicht in ner Klausur ist, kann man sich die 2 Fkt, ja auch mal für verschiedene c plotten lassen, in ner Klausur skizzieren!

Gruß lul

Comments

danke für die Antwort.

ich habe mir die Funktionen plotten lassen aber verstehe leider immer noch nicht genau, was du meinst. Gibt es auch einen Weg, das rechnerisch zu lösen?

LG

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Hallo lul,

stetig, monoton und deshalb objektiv
..
wenn sie nur Werte >=2 erreicht

du meinst wohl  injektiv   (Begründung streng monoton!)

                    bzw.  c 

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Danke Wolfgang, automatische Rechtschreibung at mich geschlagen!

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Hallo

 beide Funktionen an der Stelle, wo sie Zusammengesetz sind bestimmen.

feststellen, dass für c>=2 kein Wert doppelt auftritt also injektiv,

für c<2 gibt es Werte 2 mal also nicht injektiv

dass für c>2 Werte fehlen also nicht surjektiv.

natürlich kann man das alles ausrechnen, bzw. muss man sogar.

Gruß lul