Mengen Bestimmen mit Differenzierbarkeit

Question

Aufgabe:

Bestimme alle Mengen.

{x ∈ ℝ | x² ≤ 4} \ {-2, 0, 4}

Problem/Ansatz:

Ich habe Probleme mit der Weise wie diese Aufgabe gelöst wurde.

Also man kann sich schon klar machen.

x² ≥ 0 wegen der 2er Potenz.

anschließend folgt aus x² ≤ 4 → |x| ≤ √4 = 2

 // Meine Frage hierbei: Wozu die Betragsstriche und Warum macht man                                                                                überhaupt diese Berechnung dient dass als Vereinfachung?

Daraus folgt -2 ≤ x ≤ 2

was ich vermute, was hier passiert ist: 

x² ≤ 4 |√

x ≤  2  | -2

-2 ≤ 0 

Die beiden ergeben dann das Intervall -2 ≤ x ≤ 2 

Als nächstes haben wir:

{x ∈ ℝ | x² ≤ 4} \ {-2, 0, 4} 

Davon wissen wir, dass links vom Differenzstrich 

[-2,2] ist was umgeschrieben {-2, -1, 0, 1, 2} entspricht

Also schreiben wir {-2, -1, 0, 1, 2} \ {-2, 0, 4} welches gleich {-1,1,2} entsprechen sollte.

Jedoch kommt als Ergebnis ]-2, 0[ ∪ ]0,2] Und hier versteh ich es dann auch nicht mehr..

Answer 1

"x^{2} ≥ 0 wegen der 2er Potenz.
anschließend folgt aus x^{2 }≤ 4 → |x| ≤ √4 = 2
// Meine Frage hierbei: Wozu die Betragsstriche und Warum macht man                                                                                überhaupt diese Berechnung dient dass als Vereinfachung?"

Bemerke dass wenn ein x die Gleichung x^{2 }≤ 4 löst dann auch das -x (deswegen brauchen wir die Betragsstriche). Hätten wir die Betragsstriche nach dem Wurzelziehen weggelassen, so würde es keine Äquivalenzumformung sein, denn die Lösungsmenge von x ≤ 2 ist viel größer als von x^{2 }≤ 4.

"[-2,2] ist was umgeschrieben {-2, -1, 0, 1, 2} entspricht"

So nicht. 0.5 ist in [-2,2] enthalten, jedoch nicht in der Menge {-2, -1, 0, 1, 2}.

{x ∈ ℝ | x^2 ≤ 4} \ {-2, 0, 4}  ist nach deiner Rechnung genau die Menge [-2,2] \ {-2, 0, 4} = ]-2,2] \ {0, 4} = ]-2,2] \ {0} =]-2, 0[ ∪ ]0,2]