0 Daumen
398 Aufrufe

Aufgabe:

Es gilt zu Beweisen, dass (x2 / y) + (y2 / x) ≥ x + y

Ich habe schon hin und her umgeformt, aber irgendwie manifestiert sich die Lösung nicht vor meinem geistigen Auge. Wer kann helfen?



Patrick


Problem/Ansatz:

Avatar von

Die Ungleichung gilt nicht für x = -1, y = -2. Somit kann die Ungleichung wahrscheinlich nicht bewiesen werden.

Gibt es Einschränkungen im Definitionsbereich, die über das Offensichtliche (x ≠ 0, y ≠ 0) hinausgehen?

2 Antworten

+1 Daumen
 
Beste Antwort

linke Seite auf Hauptnenner bringen:
(x^3+y^3)/(xy) >=x+y, linke Seite faktorisieren

(x+y)(x^2-xy+y^2)/(xy)>=x+y , kürzen

(x^2-xy+y^2)/(xy)>=1 |*xy

(x^2-xy+y^2)>=xy |-xy

(x^2-2xy+y^2)>=0 | binomische Formel

(x-y)^2>=0

Avatar von 37 k

Ich denke, dass es den Punkt trifft...Das Ärgerliche daran ist, dass ich genauso angefangen habe, aber schon beim Faktorieren Mist gebaut habe. Vielen Dank nochmal.

+1 Daumen

          (x^2 / y) + (y^2 / x) ≥ x + y

<=>     (x^2 / y)   - y   ≥ x  - (y^2 / x)

<=>  y * (   (x^2 / y^2 )   - 1 )    ≥ x * ( 1  -  (y^2 / x^2 )  )

<=>  y * (   (x^2 - y^2 )  / y^2 )     ≥ x *  (   (x^2 - y^2 )  / y^2 )

<=>  (y -x )* (   (x^2 - y^2 )  / y^2 )     ≥  0

<=>  (y -x )* (x-y)*(x+y)  / y^2 )     ≥   0

Für y≠0 ( Das ist ja sicher vorausgesetzt.)

<=>  (y -x )* (x-y)*(x+y)     ≥   0

Und hier braucht man wohl noch ein paar Voraussetzungen über x und y.

Avatar von 289 k 🚀

Mea Culpa! Es gab natürlich eine Voraussetzung.....

da ist sie...:-)

x, y  ∈  R  mit  x, y  >  0

Sorry nochmal..:-)...

Das ist ja etwas komisch:

Ich hatte  <=>  (y -x )* (x-y)*(x+y)     ≥   0

und dann ist ja x+y sicherlich auch > 0, aber dann bleibt

             (y -x )* (x-y)    ≥   0

und das ist entweder = 0 ( wäre ja OK) aber

für x≠y ist ja ein Faktor pos. und einer neg, das

Produkt also kleiner 0.

Schau mal, ob ich vielleicht irgendwo was

falsch umgeformt habe.

Ein anderes Problem?

Stell deine Frage

Ähnliche Fragen

Willkommen bei der Mathelounge! Stell deine Frage einfach und kostenlos

x
Made by a lovely community