Ebenengleichung durch vier Punkte aufstellen

Question

Aufgabe:

Untersuchen Sie, ob die Punkte (6,9,4), (0,5,2,), (0,0,4) und (6,2,8) in einer Ebene liegen.

Problem/Ansatz:

Wie gehe ich hier vor, muss ich eine Parametergleichung aufstellen und falls ja, wie geht das? Vielen Dank im Voraus!

Answer 1

Stelle eine Ebene durch die Punkte (6,9,4), (0,5,2,), (0,0,4) auf und setze diese gleich dem Ortsvektor von Punkt (6,2,8).

X = [0, 0, 4] + r·([6, 9, 4] - [0, 0, 4]) + s·([0, 5, 2] - [0, 0, 4]) = [6, 2, 8]

Da es keine Lösung gibt, liegt der Punkt nicht in der Ebene.

Comments

Vielen Dank! Eine Frage nur: kann man das jetzt für jeden anderen Punkt machen, ich meine, Sie haben jetzt die Ebenengleichung dem Ortsvektor von Punkt [6,2,8] gleichgesetzt, kann ich die Gleichung einem anderen Ortsvektor mit anderen Koordinaten gleichsetzen und müsste auf das gleiche Ergebnis kommen???

---

ja. So kannst du für jeden Punkt prüfen ob er auf der Ebene liegt.

Wenn man sich das einfacher machen will wandelt man die Parameterform allerdings in die Koordinatenform um

E: 9x - 6y - 15z = -60

Hier kann man viel einfacher prüfen ob Punkte zur Ebene gehören. Setze hier für x, y und z mal die Koordinaten deiner gegebenen Punkte ein. Was stellst du fest?

---

Eine vielleicht wieder sinnlose Frage, aber wie stellt man diese Koordinatenform der Ebene bitte auf? Vielen Dank im Voraus.

---

Das wird z.B. auf der Seite

https://www.matheretter.de/wiki/parameterform-koordinatenform

recht gut erklärt.

Answer 2

Suche dir drei von vier Punkten aus und stelle damit eine Ebenengleichung auf. Prüfe nun mit dem vierten noch nicht verwendeten Knoten, ob dieser in der Ebene liegt. Bei der Parameterform musst du ein LGS lösen. Bei der Koordinatenform müsstest du hingegen nur den Punkt einsetzen. Aber was du davon nimmst, ist dir überlassen.