Hallo Nadia, hallo Lina,
Der euklidische Algorithmus war:$$\begin{aligned} 315 \div 198 &= 1 \space \text{Rest}\, &117 \\ 198 \div 117 &= 1 \space \text{Rest}\, &81 \\ 117 \div 81 &= 1 \space \text{Rest}\, &36 \\ 81 \div 36 &= 2 \space \text{Rest}\, &9 \\ 36 \div 9 &= 4 \space \text{Rest}\, &0 \end{aligned}$$
3) Bestimme für die Zahlen a und b aus 1) und 2) jeweils eine Darstellung des größten gemeinsamen Teilers als Linearkombination der Zahlen a und b, d. h. bestimme u, v ∈ Z so, dass gilt:
ggT (a, b) = u · a + v · b.
Eine der letzten Gleichungen aus dem euklidischen Algorithmus zur Bestimmung des ggT von 198 und 315 lautet$$81 : 36 = 2 \space \text{Rest}\, 9 \\ \implies 9 = 1 \cdot 81 - 2 \cdot \colorbox{#ffff00}{36}$$damit liegt bereits eine Linearkombination für den \(\text{ggT} = 9\) vor. Nun ersetzt man rückwärts jeweils eine Zahl (hier die \(\colorbox{#ffff00}{36}\)) aus den Ergebnissen des euklidischen Algorithmus.
Die vorhergehende Division war \(117 \div 81 = 1 \space \text{Rest}\, \colorbox{#ffff00}{36}\) daraus folgt:
$$ \colorbox{#ffff00}{36} = 117 - 1 \cdot 81$$
Einsetzen in die Gleichung mit \(9=\dots\) gibt:
$$\begin{aligned} 9 &= 1 \cdot 81 - 2 \cdot( 1 \cdot 117 - 1 \cdot 81) \\ &= -2 \cdot 117 + 3 \cdot \colorbox{#ff88ff}{81} \end{aligned}$$
Aus \(198 \div 117 = 1 \space \text{Rest}\, \colorbox{ff88ff}{81} \) (s.o.) folgt
$$ \colorbox{#ff88ff}{81} = 198 - 1 \cdot 117 $$
wieder Einsetzen in die aktuelle Gleichung des ggT:
$$\begin{aligned} 9 &= -2 \cdot 117 + 3 \cdot(198 - 1 \cdot 117) \\ &= 3 \cdot 198 - 5 \cdot \colorbox{#88ff88}{117} \end{aligned}$$
und die 117 folgt aus der ersten Gleichung \(315 \div 198 = 1 \space \text{Rest}\, \colorbox{#88ff88}{117}\):
$$ \colorbox{#88ff88}{117} = 315 - 1 \cdot 198 $$
Einsetzen:
$$\begin{aligned} 9 &= 3 \cdot 198 - 5 \cdot( 315 - 1 \cdot 198) \\ &= -5 \cdot 315 + 8 \cdot 198\end{aligned}$$
und damit erhält man eine Linearkombination für den \(\text{ggT} = 9\) aus den ursprünglichen Zahle \(a=198\) und \(b=315\).
Falls noch etwas unklar bleiben sollte, so frage nochmal nach.
Gruß Werner
