Zeigen Sie mittels vollständiger Induktion? Summe von k/2^k = 2 - (n+2)/2^n

Question

Zeigen Sie mittels vollständiger Induktion:

$$ \sum _ { k = 1 } ^ { n } \frac { k } { 2 ^ { k } } = 2 - \frac { n + 2 } { 2 ^ { n } } $$

Answer 1

∑ (k=1 bis n) (k/2^k) = 2 - (n + 2) / 2^n

Induktionsanfang n = 1

∑ (k=1 bis 1) (k/2^k) = 2 - (1 + 2) / 2^1
(1/2^1) = 2 - (1 + 2) / 2^1
1/2 = 1/2

Induktionsschritt n → n + 1

∑ (k=1 bis n + 1) (k/2^k) = 2 - (n + 1 + 2) / 2^{n + 1}
∑ (k=1 bis n) (k/2^k) + ((n + 1)/2^{n + 1}) = 2 - (n + 1 + 2) / 2^{n + 1}
2 - (n + 2) / 2^n + ((n + 1)/2^{n + 1}) = 2 - (n + 1 + 2) / 2^{n + 1}
- (n + 2) / 2^n + ((n + 1)/2^{n + 1}) = - (n + 1 + 2) / 2^{n + 1}
(n + 2) / 2^n - ((n + 1)/2^{n + 1}) = (n + 1 + 2) / 2^{n + 1}
(2n + 4)/(2 * 2^n) - ((n + 1)/(2 * 2^n)) = (n + 1 + 2)/(2 * 2^n)
(2n + 4 - n - 1)/(2 * 2^n) = (n + 1 + 2)/(2 * 2^n)
(n + 3)/(2 * 2^n) = (n + 3)/(2 * 2^n)

wzbw.

Comments

ich bin leider kein großer Matheprofi und versuche gerade die einzelnen Schritte nachzuvollziehen...

2 - (n + 2) / 2ⁿ + ((n + 1)/2^{n + 1}) = 2 - (n + 1 + 2) / 2^{n + 1} 

--> hier wird für die nachfolgende Zeile die 2 weggekürzt? Auf beiden Seiten -2

- (n + 2) / 2ⁿ + ((n + 1)/2^{n + 1}) = - (n + 1 + 2) / 2^{n + 1} 

.--> Hier wird für die nachfolgende Zeile *-1 gerechnet, um das negative Vorzeichen wegzubekommen?

(2n + 4)/(2 * 2ⁿ) - ((n + 1)/(2 * 2ⁿ)) = (n + 1 + 2)/(2 * 2ⁿ) 

--> hier wurde alles *2 genommen, um im Nenner die gleichen Werte stehen zu haben, um die beiden Terme zusammenfassen zu können?

Habe ich das so richtig verstanden? Würde mich sehr über ein Feedback freuen. 

FG

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"--> hier wurde alles *2 genommen, um im Nenner die gleichen Werte stehen zu haben, um die beiden Terme zusammenfassen zu können?"

Eher es wurden auf beiden Seiten Potenzgesetze angewendet

a^{m + n} = a^m * a^n

Desweiteren wurde der erste Bruch noch erweitert.