Integral mit Polarkoordinaten bestimmen

Question

Aufgabe:

Durch Übergang zu Polarkoordinaten berechne man:

$$\int_{0}^{a}\int_{\sqrt{ay-y^2}}^{\sqrt{a^2-y^2}} \sqrt{a^2-x^2-y^2}dxdy$$

Problem/Ansatz:

Die Funktion habe ich bereits in Polarkoordinaten umgewandelt: $$ \sqrt{a^2-x^2-y^2} = \sqrt{a^2-r^2}$$

und der Radius r müsste, glaube ich, von 0 bis a gehen als Integrationsgrenze? Aber wie kommt man auf die weitere Grenze, also auf die Grenzen von Phi?

:)

Comments

Hallo

 die untere Grenze x=√(ay-y^2) also x>0 und x^2+(y-a/2)^2=a^2/4

 ist ja der Halbkreis x>0 um (0,a/2) dann wird bis zum Kreis x^2+y^2=a^2 ,y>0  wieder der rechte obere Viertelkreis integriert. also hängt r von phi ab.

Gruß lul

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Hast

 du r(phi) raus?

lul

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Also..ich verstehe nun, wie man auf a²/4 kommt. Aber das mit den Halb- und den Viertelkreisen kann ich noch nicht wirklich nachvollziehen. Und auch nicht, wie man darauf auf den Winkel / r schließen kann :/

Answer 1

Hallo

 untere Grenze x=√(ay-y^2)  daraus x^2+(y-a/2)^2=a^2/4 das ist ein Kreis um (0,a/2) mit Radius a/2 und  wegen x>0 ein Halbkreis . Obere Grenze  x=√(a^2-y^2) also x^2+y^2=a^2 wegen x>0 und y>0 nur 1/4 Kreis um 0

du musst also in meinem Bild von dem Kreisbogen h bis e integrieren, d,h r geht von i bis a also von a*sin(φ) bis a, und φ von 0 bis pi/2

Gruß lul

Comments

okay, jetzt verstehe ich es besser, die Zeichnung ist dabei wirklich eine Riesenhilfe :)
Wenn ich die Grenzen einsetze und das Integral auflöse, komme ich auf $$(a^2(-4+pi))/16$$.
Vielen vielen Dank für Ihre Hilfe ^^

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Hallo

ich hab das Integral nicht berechnet, aber, dass es negativ ist wundert mich sehr, kannst du deine Rechnung zeigen?

Gruß lul

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Für das Integrieren habe ich der Einfachheit halber einen Online-Rechner benutzt, die Grenzen habe ich selbst eingesetzt. :3