Exponentielles Wachstum und Zerfall

Question

Aufgabe:

Ende April 1986 ereignete sich in Tschernobyl die bislang schwerste Reaktorkatastrophe in der Geschichte der zivilen Nutzung der Atomtechnologie. Im radioaktiven Fallout waren mengenmässig die Isotope Jod-131 und Cäsium-137 stark vertreten.

a) Geben Sie für Cäsium-137 mit einer Halbwertszeit von 30 Jahren das Zerfallsgesetz an. Wie viel Prozent der 1986 freigesetzten Cäsiummenge sind heute noch wirksam? Wie lange dauert es, bis die Cäsiumbelastung noch 10% der ursprünglichen Belastung beträgt.

Problem/Ansatz:

Ich habe es so probiert:Zerfallskonstante: ln(2)/15768000 = 4.396*10^-8

N(t) = N0 * e^-4.396*10^-8*t

(Stand 2019) e^-4396*10^-8*17344800 = 46.65%

Wie lange dauert es, bis die Cäsiumbelastung noch 10% der ursprünglichen Belastung beträgt. Wie muss ich das berechnen?

Comments

Ich habe jetzt noch die anderen Aufgaben ausgerechnet. Könnte mir jemand die Lösungen dazu geben.

b) Das Zerfallsgesetz für Jod-131 lautet N(t) = N0*e^(-0.08664)*t (t in Tagen). Berechnen Sie die Halbwertszeit und die tägliche prozentuelle Abnahme der Jodbelastung.

Meine Lösung: 8 Tage HWZ und 8.299% Abnahme täglich.

c) Wie lange dauert es in diesem Fall, bis nur mehr 10% der ursprünglichen Menge übrig sind?

Meine Lösung: 26,58 Tage

d) Jemand nimmt mit der Nahrung 15 mg Jod-131 zu sich, das in der Schilddrüse abgelagert wird. Nach 3 Tagen nimmt er weitere 20mg auf. Wie viel Jod-131 ist eine Woche später noch im Körper? Wie lange dauert es danach, bis nur mehr 1 mg übrig ist?

Meine Lösung: 22.32mg ist im Körper.

35.84 Tage bis 1mg im Körper ist.

Answer 1

a) Geben Sie für Cäsium-137 mit einer Halbwertszeit von 30 Jahren das Zerfallsgesetz an.

N(t) = N0·0.5^(t/30)

b) Wie viel Prozent der 1986 freigesetzten Cäsiummenge sind heute noch wirksam?

2019 - 1986 = 33

0.5^(33/30) = 0.4665 = 46.65%

c) Wie lange dauert es, bis die Cäsiumbelastung noch 10% der ursprünglichen Belastung beträgt.

0.5^(t/30) = 0.1 → t = 99.66 Jahre

Comments

Man muss die Exponentialfunktion dabei nicht unbedingt als e-Funktion schreiben. Kann man aber

N(t) = N0·0.5^(t/30) = N0·e^(- 0.02310490601·t)

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Du hast 30 Jahre zuerst in Minuten umgerechnet. Wozu ?

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Weil es so ist. Die Einheit ist in Minuten.

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Wer sagt das? Ist das gefordert? Wenn ja steht das nicht oben bei dir. Ansonsten kannst du die Einheit auch in Jahren wählen. Das habe ich hier gemacht. Da brauchst du überhaupt nichts umrechnen.

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Ich habe gedacht, wenn es in Wikipedia steht, dann ist es so, das man das in Minuten machen muss.

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Ich weiss nie, wem ich jetzt den Stern geben soll, deshalb wechsle ich immer ab.

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Ich habe jetzt noch die anderen Aufgaben ausgerechnet. Könnte mir jemand die Lösungen dazu geben.



b) Das Zerfallsgesetz für Jod-131 lautet N(t) = N0*e^(-0.08664)*t (t in Tagen). Berechnen Sie die Halbwertszeit und die tägliche prozentuelle Abnahme der Jodbelastung.

Meine Lösung: 8 Tage HWZ und 8.299% Abnahme täglich.



c) Wie lange dauert es in diesem Fall, bis nur mehr 10% der ursprünglichen Menge übrig sind?

Meine Lösung: 26,58 Tage



d) Jemand nimmt mit der Nahrung 15 mg Jod-131 zu sich, das in der Schilddrüse abgelagert wird. Nach 3 Tagen nimmt er weitere 20mg auf. Wie viel Jod-131 ist eine Woche später noch im Körper? Wie lange dauert es danach, bis nur mehr 1 mg übrig ist?



Meine Lösung: 22.32mg ist im Körper.

35.84 Tage bis 1mg im Körper ist.

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Andere Aufgaben bitte getrennt einstellen. Nur Nachfragen zu dieser Aufgabe auch hier einstellen.

Das stellt sicher das Aufgaben schnell beantwortet werden und das Aufgaben auch später gefunden werden.

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Die Aufgaben gehören zu dieser Aufgabe. Ich wollte den Post nicht voll stopfen. Aber es gehört dazu.

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b) Das Zerfallsgesetz für Jod-131 lautet N(t) = N0·e^(-0.08664·t) (t in Tagen). Berechnen Sie die Halbwertszeit und die tägliche prozentuale Abnahme der Jodbelastung.

e^(-0.08664·t) = 0.5 → t = 8.000 Tage
e^(- 0.08664·1) - 1 = -0.0830 = -8.30%

c) Wie lange dauert es in diesem Fall, bis nur mehr 10% der ursprünglichen Menge übrig sind?

e^(-0.08664·t) = 0.1 → t = 26.58 Tage

d) Jemand nimmt mit der Nahrung 15 mg Jod-131 zu sich, das in der Schilddrüse abgelagert wird. Nach 3 Tagen nimmt er weitere 20 mg auf. Wie viel Jod-131 ist eine Woche später noch im Körper?

15·e^(- 0.08664·7) + 20·e^(- 0.08664·4) = 22.32 mg

Wie lange dauert es danach, bis nur mehr 1 mg übrig ist?

15·e^(- 0.08664·t) + 20·e^(- 0.08664·(t - 3)) = 1 → t = 42.84 Tage

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Schade, d habe ich falsch gemacht.

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Vielleicht hab ich ja auch einen Fehler drin. Du kannst ja mal deine Rechnung begründen.

Es kommt bei d) darauf an ab wann man die Woche zählt. Das ist so nicht ganz eindeutig.

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Ich verstehe leider nicht wie es zur Aufstellung dieser Funktionen

N(t) = N0·0.5^(t/30) = N0·e^(- 0.02310490601·t)  kommt :((((((

Kann mir das bitte jemand erklären ich komme nicht dahinter :(

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Verstehst du denn den ersten Schritt noch?

N(t) = N0·0.5^(t/30)

oder verstehst du den auch schon nicht? Am besten erklärt man immer genau, mit welchem Schritt man Probleme hat.

$$N(t) = N_0 \cdot 0.5^{\frac{t}{30}} \newline N(t) = N_0 \cdot e^{ln(0.5^{\frac{t}{30}})} \newline N(t) = N_0 \cdot e^{\frac{t}{30} \cdot ln(0.5)} \newline N(t) = N_0 \cdot e^{\frac{1}{30} \cdot ln(0.5) \cdot t} \newline \text{mit } \frac{1}{30} \cdot ln(0.5) \approx -0.02310$$

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Danke für die Erklärung,

ich versteh bereits den ersten schritt nicht, ich hätte gedacht dass man das so berechnen würde :

0.5= N0*a^30

woher kommt denn das t/30 und die 0.5 am Anfang ?

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Nach 30 Jahre ist noch die Hälfte vorhanden.

N(0)*a^30 = 0,5*N(0)|: N(0)

a^30 = 0,5

a= 0,5^(1/30)

0,5^(1/30) ist die Abnahme pro Jahr

nach t Jahren
(0,5^(1/30))^t = 0,5^(t/30), Potenzgesetz: (a^b)^c = a^(b*c)

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dankeeee !!!! jetzt habe ich das verstanden :)

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Das freut mich.

Answer 2

Halbwertzeit = 30 Jahre
30 jahre = 1/2
60 jahre = 1/4 = 1/2 ^2
90 jahre = 1/ 8 = 1/2 ^3

1 Zeitperiode = t / 30

Zerfallsgesetz
n ( t ) = n0 * (1/2) ^(t/30)

bis 2019 = 33 jahre
n ( 33 ) = n0 * (1/2) ^(33/30)
n ( 33 ) / n0 = 0.4665

n ( t ) = n0 * (1/2) ^(t/30)
n ( t ) / n0  = (1/2) ^(t/30) = 0.1
(1/2) ^(t/30) = 0.1 | ln ()
t/30 * ln(1/2) = ln(0.1)
t / 30 = ln(0.1) / ln(1/2)
t = ln(0.1) / ln(1/2) * 30 = 99.66 Jahre

Comments

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Ich habe jetzt noch die anderen Aufgaben ausgerechnet. Könnte mir jemand die Lösungen dazu geben.



b) Das Zerfallsgesetz für Jod-131 lautet N(t) = N0*e^(-0.08664)*t (t in Tagen). Berechnen Sie die Halbwertszeit und die tägliche prozentuelle Abnahme der Jodbelastung.

Meine Lösung: 8 Tage HWZ und 8.299% Abnahme täglich.



c) Wie lange dauert es in diesem Fall, bis nur mehr 10% der ursprünglichen Menge übrig sind?

Meine Lösung: 26,58 Tage



d) Jemand nimmt mit der Nahrung 15 mg Jod-131 zu sich, das in der Schilddrüse abgelagert wird. Nach 3 Tagen nimmt er weitere 20mg auf. Wie viel Jod-131 ist eine Woche später noch im Körper? Wie lange dauert es danach, bis nur mehr 1 mg übrig ist?



Meine Lösung: 22.32mg ist im Körper.

35.84 Tage bis 1mg im Körper ist.

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Tip :
Wenn du Fragen als " Neu " einstellst erhöhst du
die Anzahl möglicher Antwortgeber beträchttlich.

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b) Das Zerfallsgesetz für Jod-131 lautet N(t) = N0*e^(-0.08664)*t (t in Tagen). Berechnen Sie die Halbwertszeit und die tägliche prozentuelle Abnahme der Jodbelastung.

N(t) = N(0)*a^t

a= e^(-0,08665)= 0,917

Abnahme in %: 0,917- 1= - 8,299 % = -8,3% (gerundet)

HWZ:

e^(-0,08664*t)= 0,5

t= ln0,5/-0.08664 = 8 Tage



c) Wie lange dauert es in diesem Fall, bis nur mehr 10% der ursprünglichen Menge übrig sind?

N(t) = 0,1

e^(-0,08664*t)= 0,1

t= ln0,1/-0,08664 = 26,58 Tage


d) Jemand nimmt mit der Nahrung 15 mg Jod-131 zu sich, das in der Schilddrüse abgelagert wird. Nach 3 Tagen nimmt er weitere 20mg auf. Wie viel Jod-131 ist eine Woche später noch im Körper? Wie lange dauert es danach, bis nur mehr 1 mg übrig ist?

[15*e^(-0,8664*3)+20]*e^(-0,08664*7)= 22,47mg

22,47*e^(-0,08664*t)= 1

t= 35,92 Tage

Abweichung ist wohk rundungsbedingt.