Lineare Algebra - Matrizen

Question

Aufgabe:

Ermitteln Sei angenähert die Wahrscheinlichkeiten, mit denen die Ameise vom Bären in Falle 4 bzw. 5 getötet wird, wenn sie in Position 1 startet.

Geben sie die Matrixpotenz M²⁰⁰⁰ an und interpretieren sie deren Spalten.

Problem:

Leider habe ich bei den beiden letzten Aufgabenteilen meiner Abivorbereitung noch einige Probleme und würde mich über jede Hilfe freuen!
Auf dem beiligenden Bild, kann man die Wahrscheinlichkeiten sehen.
!

Lulu

Answer 1

Die Matrix für die Übergangswahrscheinlichkeiten erkennst du ja an der Zeichnung M =

0          0,2     0,25        0     0
0,25     0         0,5         0     0 
0,75      0.6       0          0      0
 0          0,2       0          1      0
 0          0        0,25        0     1

Und wenn du eine Ameise bei 3 starten lässt, hast du etwa

nach 30  Zeittakten schon die Verteilung

0,0006
0,0010
0,0014
0,36
0,64

also landet die mit Wahrscheinlichkeit 36% bei 4 und

mit 64% bei 5.

Und bei M^2000 hast du in den ersten 3 Zeilen alles nur Werte, die fast 0 sind und in den

letzten beiden etwa sowas

0,36      0,46     0,32      1      0
0,64      0,54     0,68      0      1

und die bedeuten: Wenn eine Ameise bei 1 startet, ist

sie nach 2000 Zeittakten mit Wahrscheinlichkeit 36% bei

Nr.4 gefressen worden und mit Wahrscheinlichkeit 64% bei Nr.5.

Wenn sie bei 2 startet sind die Wahrscheinlichkeiten 46% bzw. 54% etc.

Comments

Super, Danke für die Mühe. Genau das brauchte ich.

Könntest du mir noch sagen, wie man bspw. die Verteilung nach 30 Zeittakten berechnet, ohne die Übergangsmatrix 30 Mal mit sich selbst zu multiplizieren?

Lulu

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Du kannst das etwas abkürzen, z.B.  rechnen

M*M  dann hast du M^2 .

und dann M^2 * M^2 gibt schon mal M^4

M^4 * M^4 = M^8

M^8 * M^8 = M^16

und nochmal, dann bist du schon bei M^32.

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Danke - macht Sinn. :)

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... wie man bspw. die Verteilung nach 30 Zeittakten berechnet, ohne die Übergangsmatrix 30 Mal mit sich selbst zu multiplizieren?

Im Allgemeinen versucht man dies bei hohen Potenzen über die Diagonalisierung der Matrix zu lösen. Dazu müsstest Du aber wissen, was das charakteristische Polynom der Matrix \(M\) ist und wie man die Eigenvektoren bestimmt.

Meines Wissens steht das in keiner Schule auf dem Lehrplan - oder?

Mein Ergebnis für \(n \to \infty\) ist:$$\lim_{n \to \infty} M^n = \begin{pmatrix}0& 0& 0& 0& 0\\ 0& 0& 0& 0& 0\\ 0& 0& 0& 0& 0\\ 10/28& 13/28& 9/28& 1& 0\\ 18/28& 15/28& 19/28& 0& 1\end{pmatrix}$$

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Berechnen lässt sich dies mit der Mittelwertsregel.

Da würde ich als Lehrer davon ausgehen, das sich der Schüler damit beschäftigt. Eventuell sollte das Stichwort Mittelwertsregel allerdings in der Prüfung stehen. So hatte ich gerade selber 2 Abi-Prüflinge die sich im Rahmen der PL mit den Mittelwertsregeln beschäftigen sollten.

Answer 2

Die Antwort von Mathef ist völlig richtig.

Die Matrix M^2000 hat die Form (gerundet)

M^2000 =
[2.358·10^(-172), 1.979·10^(-172), 1.922·10^(-172), 0, 0;
3.654·10^(-172), 3.066·10^(-172), 2.979·10^(-172), 0, 0; 
4.822·10^(-172), 4.047·10^(-172), 3.932·10^(-172), 0, 0; 
0.3571, 0.4643, 0.3214, 1, 0; 0.6429, 0.5357, 0.6786, 0, 1]

Hier kann man die Wahrscheinlichkeiten ablesen wie der Übergang nach 2000 Schritten ist.

Wenn es eine Abi-Aufgabe ist würde ich eventuell noch auf die beiden Mittelwertsregeln eingehen.

Damit kannst du zum einen exakt bestimmen wie groß die Wahrscheinlichkeit ist von Bär in 4 gefressen zu werden. Außerdem kann man die mittlere Anzahl an Schritten bestimmen, die es dauert gefressen zu werden.

Comments

Wenn du M^2000 angeben sollst könntest du natürlich rechnen

M^2000 = M^1024·M^512·M^256·M^128·M^64·M^16

Ich nehme aber mal an du darfst auch einen Rechner wie Wolframalpha dafür verwenden. Du solltest aber eben auch sagen wie man Handschriftlich darauf kommt.