lim n→∞ xn = a ⇒ lim n→∞ f(xn) = c äquivalent |x−a| < δ ⇒|f(x)−c| < ε.

Question

Sei D ⊂ R, sei a ∈ R ein Berührungspunkt von D und sei c ∈R. Zeigen Sie, dass die folgenden beiden Aussagen äquivalent sind:

(1) Für jede Folge (xn)n∈N, so dass xn ∈ D\{a} für alle n ∈N, gilt: lim n→∞ xn = a ⇒ lim n→∞ f(xn) = c.

(2) Für alle ε > 0 existiert ein δ > 0, so dass für alle x ∈ D\{a} gilt: |x−a| < δ ⇒|f(x)−c| < ε.

ich verstehe hier nicht ganz wie ich vorgehen soll.

lg Jay

Comments

Hallo

 das sind 2 Formulierungen für Stetigkeit, bzw. Folgenstetigkeit. Benutze die Definition von Berührpunkt, und von lim

du musst aus 1) 2)  folgern und aus 2)  1)

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Ich habe leider keine Ahnung wie ich anfangen soll :/

Answer 1

Hallo

 fang damit a Berührpunkt, dann folgt in jeder  δ Umgebung von a gibt es mindestens ein xn also |a-xn|<δ daraus folgt lim n→∞ f(xn) = c. d.h. es gibt ein N so dass für alle n>N gilt |f(xn)-c|<ε daraus folgerst du 2

 und dann in umgekehrter Richtung .

Gruß lul