Lösen Sie folgende Glechung |x+1|-|x-2|=x-2

Question

Aufgabe: Wie löst man diese Ungleichung? Wie kommt man zu der Lösungsmenge?

Hätte jemand vielleicht Zeit, mir kurz die Aufgabe zu erklären?

Problem/Ansatz:

Answer 1

Entweder ist x+1<0 und damit auch x-2<0

Dann gilt -(x+1)+(x-2)=x-2 und daher x=-1

oder es gilt x-2>0 und daher x+1>0

Dann gilt: x+1-(x-2)=x-2 und daher x=5

Comments

Ok, und die Fälle x+1>0 und x-2< 0

dann gilt x+1- -(x-2)=x-2

              x+1 + x +2 = x-2

             2x  +3 =x-2 <=> x=-5

und für den fall x+1<0 und x-2>=0

dann gilt -(x+1) - x-2 =x-2

               -x-1-x-2=x-2

              -2x-3=x-2 <=> -1 = 3x <=> -0,33=x ??

ist das richtig ? Und wie geht's dann weiter?

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Entweder ist x+1<0 und damit auch x-2<0
Dann gilt -(x+1)+(x-2)=x-2 und daher x=-1
oder es gilt x-2>0 und daher x+1>0
Dann gilt: x+1-(x-2)=x-2 und daher x=5

@Roland

Findest du selbst die logischen Fehler in deinem Beitrag?

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leider nein, man muss doch alle fälle durchrechnen oder nicht?

Oder meinst du, weil x nicht >-1 und x<2 ein kann

und x<-1 x> 2 auch nicht sein kann ?

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Ja,danke, gefunden

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okii, Perfekt danke !

Und somit ist die Lösungsmenge dann L={-1,5} :D

Danke, Danke

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@cassy_yo

Die Frage ging an Roland, nicht an dich.

Aber wenn es dich interessiert:

Entweder ist x+1<0 ...oder es gilt x-2>0 

bedeutet ja eigentlich

"entweder ist x<- 1 oder x ist größer als 2".

Bei "entweder ... oder ..." darf es kein Drittes geben, allerdings könnte x auch zwischen -1 und 2 liegen.

Zudem ist die Schlussfolgerung

Entweder ist x+1<0 ... und daher x=-1 

ein Widerspruch in sich,  weil x+1<0 das Ergebnis x=-1 ausdrücklich nicht zulässt, denn -1+1 ist nicht <0.

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Ok, jetzt bin ich wieder verwirrt..

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Roland hätte statt  x+1<0  besser x+1≤0 schreiben sollen, damit die Lösung x=-1 tatsächlich Lösung sein kann.

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Achso, okay :) Danke !

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Nehmen wir mal an, dass x>=-2 und x>=-3

wäre dieser Fall dann möglich? Müsste dann x>= -2 sein, um wahr zu sein?

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Im Fall x>=-2 und x>=-3 gilt nur x>=-2. Dieser liegt vollständig im Fall x>=-3. Zwischen -3 und -2 hat die Aussage x>=-2 und x>=-3 keine Erfüllungsmenge.

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Ist das so richtig? 

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Gleich in der zweiten Zeile muss es heißen x-3≥0 und dann in der dritten Zeile x≥3.

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ich habe mich an eine Neue Aufgabe gewagt. Könntet ihr dies evtl korrigieren und schauen, ob es richtig ist? :)

Answer 2

Hier meine Berechnungen

Comments

Könntest du mir erklären, wann man - vor der klammer in den Unterschiedlichen Fällen tut?

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Das will ich gerne tun

Wichtig ist wann die Betragsfunktion 0 ist.

Für über oder unter null ( positiv oder negativ ) bedeutet die Betragsfunktion

term > 0 : | term |  = term
term < 0 : | term | = term * (-1)

Mit folgender Vorgehensweise bleibt die Übersicht erhalten

- Nullpunkt der Betragsfunktion feststellen

Hier x = -1 und x = 2

- auf einem Zahlenstrahl werden die Werte eingetragen

- es ergeben sich 3 Bereiche die getrennt untersucht werden müssen.

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| x -1 | - | x + 2 | = -x

Lösen ohne nachzudenken
Es gibt nur 4 Möglichkeiten
( x -1 ) * (+1) - ( x + 2) * (+1) = -x
( x -1 ) * (+1) - ( x + 2) * (-1)|= -x
( x -1 ) * (-1) - ( x + 2) * (+1)|= -x
( x -1 ) * (-1) - ( x + 2) * (-1)|= -x

1.)
x -1  - x + 2  = -x
1 = -x
x = -1 ( durch die Probe bestätigt )

2.)
x -1  - ( x + 2 ) -1= -x
x -1 + x + 2 = -x
3x = -1
x = -1/3 ( falsch )

3.) | x -1 | - | x + 2 | = -x
( x -1 ) *-1 - x + 2  = -x
-x + 1 - x + 2 = -x
-x = -3
x = 3 ( durch die Probe bestätigt )

4.)
| x -1 | - | x + 2 | = -x
( x - 1 ) * (-1) - ( x + 2 ) * (-1) = -x
-x + 1 + x + 2 = -x
x = -3 ( durch die Probe bestätigt )

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@georgborn

genau die gleichen Ergebnisse habe ich auch.

Nun die Frage, im 1. fall ist x>=1 und x>=-2, richtig? jedoch ist x hier ja -1

wieso ist dies dann richtig? :/

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Bei welcher Frage bist du jetzt ?

Answer 3

Es gibt 3 Fälle:

x<-1

-1<=x<2

x>2

-(x+1)+(x-2) = x-2

x+1+(x-2) =x-2

x+1-(x-2) = x-2