Basis aus Eigenvektoren bilden

Question

Aufgabe:

Entscheiden Sie begründet, ob es eine Basis von Eigenvektoren gibt. Stellen Sie, falls möglich, die Matrizen bezüglich der Eigenvektorbasis dar.

$$A = \left( \begin{array} { l l } { 3 } & { 2 } \\ { 2 } & { 6 } \end{array} \right) , \quad \text { b) } \quad B = \left( \begin{array} { c c } { 5 } & { - 1 } \\ { 1 } & { 2 } \end{array} \right) , \quad \text { c) } \quad C = \left( \begin{array} { c c } { - 5 } & { \frac { 1 } { 2 } } \\ { - 2 } & { - 3 } \end{array} \right)$$

Problem/Ansatz:

Ich habe hier bereits die Eigenwerte und Eigenvektoren berechnet weiß aber nicht wie ich ich dies begründe weder noch wie ich auf die Matrizen komme.

a.) 

Für λ1=2 $$\begin{pmatrix} -2x_{2}\\x_{2} \end{pmatrix}$$ Für λ2=2 $$\begin{pmatrix} \frac{1}{2}x_{2}\\x_{2} \end{pmatrix}$$

Answer 1

a)

[-0.8, 1.4; 0.4, 2.8]·[-2, 1; 1, 2] = [3, 2; 2, 6]

b) und c) läuft genauso, nur das dort die Eigenvektoren viel schwieriger sind.

Comments

Danke für die antwort ich habe leider hier bei mir ein fehler entdeckt das λ2=7 sein muss und nicht 2. Dennoch verstehe ich nicht ganz wie du hier auf die

[-0.8, 1.4; 0.4, 2.8]·[-2, 1; 1, 2]  rechnung kommst?

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Löse das Gleichungssystem

[a, b; c, d]·[-2, 1; 1, 2] = [3, 2; 2, 6]

Die Eigenvektoren [-2, 1] sowie [1, 2] konntest du ja deiner Rechnung entnehmen.

Weißt du alternativ wie eine Diagonalzerlegung gemacht wird?

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Was soll denn die Matrix [a, b; c, d] darstellen? Und warum soll (c) genauso laufen?

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Mir ist der Eigenvektor [1, 2] nicht klar wo man den her bekommen soll.

Sollte es nicht [0.5, 2] sein anstelle der 1? Habe das nochmal nachgerechnet und komme auf diese Matrix

ist dies jetzt meine gesuchte Matrix bezüglich der Eigenvektorbasis?

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Statt dem Eigenvektor [0.5, 1] kannst du auch das doppelte [1, 2] nehmen.

Du hast eine Diagonalzerlegung berechnet. Das ist doch prima.

Du kannst auf der rechten Seite die erste und die letzte Matrix vertauschen und danach die ersten beiden Matrizen multiplizieren.

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Ich habe nun das berechnet was du gesagt hast ist die Matrix die am ende hier rauskommt meine gesuchte Matrix für a.) ?

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Stellen Sie, falls möglich, die Matrizen bezüglich der Eigenvektorbasis dar.

Das was auf der linken Seite steht ist die Darstellung der Matrix bezüglich ihrer Eigenvektoren.

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1.) oder 2.) ?

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Wie kommst du jetzt auf die Matrix [3, 1; 4, 6]. Da muss am ende Deine Original Matrix stehen.

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Ich habe das nochmal nach gerechnet und wenn ich nicht die erste und die letzte matrix vertausche und wie hier berechne kommt das richtige raus warum sollte ich die tauschen?

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Es steht schon in der Form von A=SD_AS^-1 und nicht als D_A=S^-1AS laut wiki somit sind die 3 ,auf der rechten Seite, die Matrizen die gesucht waren für diese Aufgabe oder seh ich das falsch?