Integration über Flächen: Flächenzunahme eines jungen Blattes der Seerose ‘Victoria Regia’ ist proportional zu…

Question

Aufgabe:

Die Flächenzunahme eines jungen Blattes der Seerose ‘Victoria Regia’ ist proportional zum Produkt seines Umfangs und der ‘Menge’ des einfallenden Sonnenlichts.

Letztere wiederum ist (so lange die Sonne scheint) proportional der Blattfläche und dem Kosinus des Winkels ϕ zwischen der Vertikalen und der Richtung der einfallenden Sonnenstrahlen. Außerdem werde folgendes angenommen:

• das Blatt wächst am Äquator und hat die Form einer Kreisscheibe

• Sonnenaufgang ist um t = 6 Uhr, Sonnenuntergang um t = 18 Uhr

• Im Zeitraum 6 ≤ t ≤ 18 Uhr fällt der Winkel ϕ linear mit der Zeit von ϕ(6) = 90◦ auf ϕ(18) = −90◦

• die Blattfläche beträgt 1600 cm² um 6 Uhr und 2500 cm² um 18 Uhr.

Bestimmen Sie die Fläche F(t) des Blattes als Funktion der Zeit t (Uhrzeit in Stunden) für den Zeitraum 6 ≤ t ≤ 18 Uhr.

Comments

Sehr schöne Aufgabe aus dem Bereich der Differentialgleichungen denke ich.

Hast du schon eigene Ideen. Du sollst ja vermutlich zunächst die Differentialgleichung aufstellen.

Mein erster Versuch.

~plot~ 40000*2^(2/3)/(61*sin(pi/12*x)+189)^(2/3);[[6|18|0|3000]] ~plot~

Answer 1

Hallo

was du weisst:

$$\frac{dF}{dt}=k*U(t)*L(t)\\ U(t)=2*\sqrt{\pi}*\sqrt{F}\\ L(t)=c*cos(\phi(t))\text{  mit  }\phi(t)=\pi-\pi/12*t\\$$setz das alles ein, fasse alle Konstanten zu einer C zusammen, dann hast du eine Dgl, die man durch Separation der Variablen lösen kann.

Gruß lul

Comments

Muss in L(t) nicht die Blattfläche eingehen?

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Hallo Mathecoach

Danke für die Korrektur, ja, du hast recht L(t)=c*F(t)*cos(φ(t))

Gruß lul