Eigenschaften von Teilfolgen

Question

ich benötige leider Hilfe bei folgender Aufgabe:

Für jede Folge (a_n)_n∈ℕ in ℝ gilt mindestens eine der folgenden Eigenschaften:
(1) (a_n)_n∈ℕ besitzt eine monoton steigende Teilfolge;
(2) (a_n)_n∈ℕ besitzt eine monoton fallende Teilfolge.

Hinweis: Folgende Fallunterscheidung hilft:

1. Fall: ∀n ∈ ℕ : ∃k > n : ∀ℓ ≥ k : a_ℓ > a_k. In diesem
Fall kann man eine monoton steigende Teilfolge konstruieren.
2. Fall: ∃n ∈ ℕ : ∀k > n : ∃ℓ ≥ k : a_ℓ ≤ a_k. In diesem
Fall kann man eine monoton fallende Teilfolge konstruieren.

Kann mir da jemand helfen?

Comments

Ich würde mal tippen, dass sich in die Aufgabe ein kleiner Fehler eingeschlichen hat. Wenn ℓ ≥ k richtig ist, kann der erste Fall niemals eintreten, weil a_ℓ > a_k für ℓ = k nie wahr ist. Ich vermute, dass an der Stelle echte Ungleichheit gemeint ist.

Answer 1

Eine Teilfolge kann auch aus nur zwei Gliedern bestehen (von unendlich ist ja nirgends die Rede). Die konstante Folge widerlegt die Behauptung (falls es um strenge Monotonie geht), die zu beweisen war.