Richtig oder falsch? Aussagen zu Ebenen und Geraden

Question

Aufgabe:

Hallo ich habe Aufgrund von Vorbereitung auf meine Modulprüfung folgende Aussagen gefunden und würde diese gern mal hier vorstellen gern mal durch gehen.

(a)Der  Schnitt  zweier  Ebenen  des R³ ist  entweder  leer  oder  enthält  eine Gerade.

(b)Die affine Hülle zweier Geraden des R³ kann die Dimensionen 1,2 oder 3 haben.

(c)Der Schnitt einer Ebene und einer Geraden des R³ kann nur die Dimensionen 0 oder 1 haben.

(d)Jede Hyperebene des R³ ist eine Ebene.

Zu a) ist denke ich falsch weil leer geht gar nicht und es sind doch mindestens immer 2 Geraden wenn ich das richtig verstanden habe im R³

Zu b) da bin ich mir nicht sicher ich meine das es definitiv die Dimension 1 und 2 haben kann bei 3 weiß ich es nicht daher kann ich nciht sagen ob das richtig oder falsch ist.

Zu c) weiß ich leider nicht

Zu d) ist denke ich Richtig allerdings hab ich keine Begründung.

Ja ich geb zu hier hab ich noch schwächen was die Theorie an geht. Eventuell kann es ja jemand ja beantworten und eine schöne mathematische Begründung liefern.

Liebe Grüße

Comments

Zu a: x=0 und y=0 schneiden sich nur in einer Schnittgeraden.

Answer 1

Zu a)Der  Schnitt  zweier  Ebenen  des R³ ist  entweder  leer  (dann sind die Ebenen parallel) oder  enthält  eine Gerade (zwei nicht parallele Ebenen schneiden sich in einer Geraden).

Comments

Und was ist wenn die Ebenen identisch sind?

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'identisch' ist ein spezialfall der Parallelität.

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also ist a) richtig was sagst du zu meinen anderen Antworten? 

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Wenn man 'identisch' nicht als Spezialfall der Parallelität sieht?

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Der Schnitt ist aber sicher nicht leer wenn die Ebenen identisch sind.

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(a)Der  Schnitt  zweier  Ebenen  des R³ 
....
Und was ist wenn die Ebenen identisch sind?

Man kann natürlich argumentieren, dass es sich nicht um zwei Ebenen handelt, wenn lediglich zwei verschiedene Termdarstellungen der gleichen Ebene gegeben sind.

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Ich kann sogar für zwei Ebenen exakt die selbe Termdarstellung haben

E1: x = 0

E2: x = 0

Macht zwar keinen Sinn geht aber. Man könnte auch eine Parameterform nehmen. Die können sogar sehr unterschiedlich aussehen, sodass man zunächst eventuell nicht sieht das es die selbe Ebene ist.

Ich habe gerade ein Lernskript für Abiturienten in Alalytischer Geometrie fretiggestellt. Dort geht es um Lagebeziehungen. Und dort kommt es natürlich auch vor das Schüler zwei Ebenen gegeben haben die identisch sind.

Ok. Da soll nur angegeben werden ob sie identisch sind. Das der Schnitt dann ebenso die Ebene ist ist ja ansich klar. Aber es gibt eben auch das der Schnitt eine Ebene ist.

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sodass man zunächst eventuell nicht sieht das es die selbe Ebene ist.

dann handelt es sich noch immer nicht um zwei Ebenen :-)

Mit dem gleichen "Argument" könnte man behaupten, dass der Schnitt zweier nicht paralleler Ebenen unendlich viele Geraden enthält, nur weil es für die Gleichung der Schnittgerade unendlich viele Darstellungen gibt.

Aber Diskussionen über die deutsche Sprache waren hier im Forum schon in der Vergangenheit ziemlich sinnlos!

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Richtig immerhin haben wir hier nicht Deutsch sondern Mathematik. Und natürlich kann man zwei Mengen haben die exakt dieselben Elemente haben und trotzdem ist es nicht eine Menge.

Aber darüber mit dir zu diskutieren ist unsinnig.

https://de.wikipedia.org/wiki/Menge_(Mathematik)#Gleichheit

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Mal wieder viele Wortmeldungen, in denen ein wesentlicher Inhalt nicht erkannt wird...

Auch wenn Identität als dritte mögliche Lagebeziehung zugelassen wird, ist

Der  Schnitt  zweier  Ebenen  des R³ ist  entweder  leer  oder  enthält  eine Gerade.

erfüllt. Es wird im zweiten Teil ja nicht behauptet, dass der Schnitt eine Gerade IST, sondern dass er eine ENTHÄLT. Der Schnitt zweier identischer Ebenen ist eine Ebene, und jede Ebene enthält (mindestens eine) Gerade.

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@Mathecoach

Wenn man diese abstrakte Definition auf (anschauliche!) Punktmengen sprachlich (und das wäre dann Deutsch) so einfach überträgt, wäre dann also auch folgende Aussage wahr:

Die Schnittmenge dreier Ebenen [ich wollte es mit der Anzahl nicht übertreiben, hätte sonst eventuell den Überblick verloren :-)]  kann leer sein oder mindestens eine Gerade enthalten oder unendlich viele Ebenen enthalten oder genau einen Punkt enthalten.

Die Aussage wäre aber falsch, wenn man "mindestens" durch "genau" ersetzt.

Was so eine Schnittgerade nicht alles aushalten muss: Bei zwei Ebenen wäre dann der Begriff "die Schnittgerade" geradezu verdächtig :-)

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Es gebe dann keine Lagebeziehung zweier Geraden und keine Lagebeziehung zweier Ebenen, wenn sie identisch sind. Weil es dann ja nicht zwei Geraden und zwei Ebenen gibt.

Lerne bitte mal die obigen Lagebeziehungen in der analytischen Geometrie, welche Möglichkeiten es gibt.

https://de.wikipedia.org/wiki/Lagebeziehung#Lagebeziehungen_im_Raum

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@mathecoach

Dein Zitat https://de.wikipedia.org/wiki/Lagebeziehung#Lagebeziehungen_im_Raum 
soll also den Beweis dafür liefern, dass es die Lagebeziehung "identisch" nicht gibt?
Seltsamerweise wird dort aber dieser Fall explizit erwähnt:

Falls die Normalenvektoren linear abhängig sind, sind die Ebenen parallel und zwar identisch, falls die beiden Gleichungen Vielfache voneinander sind.

Immer wieder gerne.

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Wolfgang sagte dass es zwei identische Ebenen nicht geben kann weil man argumentieren kann, dass es dann nicht um zwei Ebenen geht sondern nur um eine.

Man kann natürlich argumentieren, dass es sich nicht um zwei Ebenen handelt, wenn lediglich zwei verschiedene Termdarstellungen der gleichen Ebene gegeben sind.

Ich meine hingegen das der Mathematiker, wenn er will auch zwei Ebenen definieren kann die eben identisch sind und es dann auch zwei Ebenen sind, deren Lage man zueinander untersuchen kann. Also kann die Schnittmenge zweier Ebenen auch wieder eine Ebene sein, eben für den Fall das die beiden Ebenen identisch sind.

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@Mathecoch

Gut, Missverständnis aufgeklärt. Das Problem ist hier, dass dieses Forum nur eine lineare und keine verzweigte Kommentarliste anbietet.

Ohne den Vermerk  "@username" verliert man schnell den Überblick, ob es sich um eine eigenständige Mitteilung oder die Reaktion auf einen der vorherigen Kommentare handelt.

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@Mathecoach

Lerne bitte mal die obigen Lagebeziehungen in der analytischen Geometrie, welche Möglichkeiten es gibt

Auf  dieses Diskussionsniveau muss ich mich wohl nicht herablassen.

Wie so oft gehst du auf meine sprachlichen Argumente überhaupt nicht ein.

"Zwei Ebenen können identisch sein"  und  "zwei nicht parallelle Ebenen enthalten genau eine gemeinsame Schnittgerade" oder "wenn drei Punkte nicht auf einer Geraden liegen, dann gibt es genau eine Ebene, die die drei Punkte enthält" sind widersprüchliche Formulierungen!

Es handelt sich dabei um eine gemeinsame Vergewaltigung der deutschen Sprache durch die Mathematikergemeinde (und ich schließe mich selbst da ein!). Man spricht von zwei Ebenen, wenn man zwei Ebenendarstellungen meint!

Wie wäre es, wenn du einfach mal auf dieses  Argument eingehst statt mit "pädagogischen" Ratschlägen um dich zu werfen!

Mein Ausgangskommentar war übrigens:

Man kann natürlich argumentieren, dass ... 

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Ich lasse Deinen Kommentar jetzt einfach mal so stehen.

CLOSED

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Ich lasse Deinen Kommentar jetzt einfach mal so stehen.

Wir lernen daraus: Es gibt also doch Alternativen zum Löschen von Kommentaren.

Mit dieser positiven Schlussbemerkung möchte auch ich mich aus dem Thema verabschieden.

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Ich wollte mich nun acuh nochmal melden.

Also ist a) Richtig wie von dir @Roland schon beschrieben und die anderen Aussagen b), c) und d) dazu wurde bisher leider nichts gesagt?