Aloha :)
Die im Rahmen der Gauß'schen Fehlerfortpflanzung verwendete bzw. ermittelte Messunsicherheit \(\delta q\) einer Messgröße \(q\) ist gleich deren Standardabweichung \(\sigma_q\). Zeigt ein Messgerät den Wert \(q_E\) an, dann liegt der reale Messwert in ca. 68% der Fälle im Intervall \([q_E-\delta q;q_E+\delta q]\).
Wie du selbst schon geschrieben hast, geben Gerätehersteller in ihren Datenblättern oft den Größtfehler \(\Delta q\) an und garantieren, dass der reale Messwert zu 100% im Intervall \([q_E-\Delta q;q_E+\Delta q]\) liegt.
Wenn du nun diesen Größtfehler \(\Delta q\) nimmst und damit die Gauß'sche Fehlerfortpflanung berechnest, überschätzt du den Fehler im Sinne von Gauß erheblich, denn \(\Delta q\gg\delta q\). Das ist nicht falsch, aber du "versaust" dir die Genauigkeit deiner Messung durch schlampige Auswertung.
Gehen wir von den Daten des Herstellers aus. Er sagt, der reale Messwerte liegt sicher im Intervall \([q_E-\Delta q;q_E+\Delta q]\). Da wir keine weiteren Infos haben, nehmen wir weiter an, dass der reale Messwert gleichverteilt ist, d.h mit derselben Wahrscheinlichkeit \(p=\frac{1}{2\Delta q}\) jeden Wert des Intervalls annehmen kann. Dieser Wert für \(p\) ergibt sich aus der Breite \(2\Delta q\) des Intervalls und der Normierungsbedingung für die Gesamtwahrscheinlichkeit auf 1. Für die Fehlerfortpflanzung benötigen wir die Standardabweichung, also berechnen wir die Varianz der Messgröße \(q\):
$$(\delta q)^2=V(q)=\left<(q-q_E)^2\right>=\int\limits_{q_E-\Delta q}^{q_E+\Delta q}(q-q_E)^2\,p\,dq=p\cdot\left[\frac{(q-q_E)^3}{3}\right]_{q=q_E-\Delta q}^{q_E+\Delta q}$$$$=p\cdot\left[\frac{(\Delta q)^3}{3}-\frac{(-\Delta q)^3}{3}\right]=p\cdot\frac{2(\Delta q)^3}{3}=\frac{1}{2\Delta q}\cdot\frac{2(\Delta q)^3}{3}=\frac{(\Delta q)^2}{3}$$Mit Wurzelziehen folgt die gesuchte Korrektur der Herstellerangaben:
$$\delta q=\frac{1}{\sqrt3}\cdot\Delta q\approx 0,577\cdot\Delta q$$
