Parameterkurve (Mittelpunktskurve einer Schiene) Funktion für die rechte und linke Schiene

Question

Aufgabe:

Ein Achterbahnlooping hat folgende Mittelpunktskurve:

$$f(t) = \left[\begin{array}{lll}{t/2} & {sin(t)} & {cos(t)}\end{array}\right]^{\top}$$

Die linke und rechte Schiene verlaufen entlang der Mittelpunktskurve jeweils eine Einheit versetzt gegen bzw. in Richtung der Binormalen. Entwickeln Sie eine Funktion die beiden Schienen beschreiben.

Problem/Ansatz:

Mein Ansatz wäre, die Normale der Parameterkurve zu berechnen (habe hierzu leider kein Formel und weiß nicht wie das klappt).

Die Kurven würde ich dann wie folgt berechnen:

Linke Kurve: l(t) = f(t) + | Normale | * Binormale

Rechte Kurve: r(t) = f(t) - | Normale | * Binormale.

Die Binormale errechnet sich ja aus:

$$B=f^{\prime} \times f^{\prime \prime} /\left\|f^{\prime} \times f^{\prime \prime}\right\|$$

Answer 1

Schau mal dort

http://www.anne-blaesius.de/arbeit_kurven/kurvenEa.html

Bei dir also mit

                     1/2
f ' (t) =           cos(t)         hat Länge √5   / 2   
                     -sin(t)

Also Tangenteneinheitsvektor

                                    1/2
T (t) = 2/√5     *          cos(t)     
                                 -sin(t)

                         0
und N(t)   =   -sin(t)          hat schon Länge 1.
                    -cos(t)

                                        -2√5  /  5 
Kreuzprodukt ergibt       √5 * cos(t) / 5
                                      -√5 * cos(t) / 5

Diesen Vektor bzw. sein Negativ zu f(t) addiert gibt

die beiden Schienen.

Comments

                                    1/2
T (t) = 2/√5    *          cos(t)     
                                -sin(t)

Hier hast du die Länge aber umgeformt?

War das Absicht oder war es so gewollt?

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War das Absicht oder nicht so gewollt?

Sollte meine Frage natürlich lauten :D

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Für einen Einheitsvektor muss man ja die Länge auf

1 normieren, dazu mit dem Kehrwert der

Länge multiplizieren.