Rang ohne Begründung bestimmen

Question

Ich habe eine folgende Altklaussuraufgabe:

Sei A = \( \begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 & 0 \\ 1 & 1 & 1 & 1 \\ 3 & 3 & 3 & 3 \\ 5 & 5 & 5 & 5 \end{pmatrix} \) ∈ M₄(ℝ). Geben Sie ohne weitere Begründung den Rang von A an:

Der Rang von der Matrix ist laut Lösung 1. Aber wie kann man den Rang einfach so ohne weiteres bestimmen? Ich dachte auch eigentlich, dass der Rang die Anzahl der Zeilen entspricht, die ungleich 0 sind, also wär der Rang doch 3 ? 
Ich hoffe ihr könnt mir weiterhelfen.

Gruß,
hexadezimal

Answer 1

Der Rang ist die Dimension des Spaltenraumes.

Äquivalent dazu ist der Rang die Dimension des Zeilenraumes.

dass der Rang die Anzahl der Zeilen entspricht, die ungleich 0 sind

Das gilt für Matrizen in Zeilenstufenform. Im Allgemeinen gilt das nicht.

Jede Matrix lässt sich durch elementare Zeilenumformungen in Zeilenstufenform überführen. Elementare Zeilenumformungen ändern den Rang einer Matrix nicht. Deshalb ist die Überführung in Zeilenstufenform ein geeignetes Mittel, den Rang einer Matrix zu bestimmen.

Ich dachte auch eigentlich

Ein Blick auf die Definition verschafft da Klarheit. Das ist ein Mittel, das man in der Schule eher nicht beigebracht bekommt, weil die Anzahl der Definitionen recht überschaubar ist und eher auf Anschauung wert gelegt wird. Im Studium ist es unerlässlich.

Comments

Ah, dass das nur für die Zeilenstufenform gilt hatte ich vergessen danke.
Könntest du mir das mit der Dimension des Spalten-/Zeilenraumes nochmal erklären? Ich kann mir gerade nichts unter den Begriffen Zeilen/Spaltenraum vorstellen.

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Zeilenraum: die Zeilen der Matrix werden als Vektoren aufgefasst. In deinem Beispiel sind das (0 0 0 0), (1 1 1 1), (3 3 3 3) und (5 5 5 5). Der Zeilenraum ist die Menge aller Linearkombinationen dieser Vektoren.

Spaltenraum: die Spalten der Matrix werden als Vektoren aufgefasst. Der Spaltenraum ist die Menge aller Linearkombinationen dieser Vektoren.

Die Dimension des Zeilenraumes wird als Zeilenrang bezeichnet.

Die Dimension des Spaltenraumes wird als Spaltenrang bezeichnet.

Laut einem Satz ist Zeilenrang = Spaltenrang. Diese Zahl wird dann einfach als Rang bezeichnet.