Bereichsintegral berechnen: f(x,y) = xy^2

Question

Aufgabe:

Berechnen der Bereichsintegrale:

a)

$$ \int_{G} e^{\frac{x}{y^{2}}} d(x, y), \quad G=\left\{(x, y) \in \mathbb{R}^{2} : y \in[1,2], \frac{1}{2} y^{2} \leq x \leq y^{2}\right\} $$

b)

$$ \int_{G} x y^{2} d(x, y), \quad G=\left\{(x, y) \in \mathbb{R}^{2} : 0 \leq x^{2}+y^{2} \leq 16, x \geq 0\right\} $$

EDIT: z entfernt in b) bei d(x,y,z).

Comments

Hallo

 was ist in b mit z?

hast du denn die Bereiche mal skizziert? Das ist immer der erste Schritt, manchmal führt der dann zu Polarkoordinaten, manchmal zu einer geschickten Reihenfolge der Integrale, aber genau das willst du ja lernen, also skizziere!

Gruß lul

Answer 1

Aloha :)

Das erste Integral kannst du in karteischen Koordinaten berechnen:

$$\int_Ge^{x/y^2}dx\,dy=\int\limits_1^2dy\int\limits_{y^2/2}^{y^2}dx\,e^{x/y^2}=\int\limits_1^2dy\left[y^2e^{x/y^2}\right]_{x=y^2/2}^{y^2}=\int\limits_1^2dy\left(y^2e-y^2\sqrt e\right)$$$$\quad=\left(e-\sqrt e\right)\int\limits_1^2dy\,y^2=\left(e-\sqrt e\right)\left[\frac{y^3}{3}\right]_1^2=\left(e-\sqrt e\right)\left(\frac{8}{3}-\frac{1}{3}\right)=\frac{7}{3}\left(e-\sqrt e\right)$$

Beim zweiten Integral bietet sich der Übergang zu Polarkoordinaten an:

$$\left(\begin{array}{c}x\\y\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}r\cos\varphi\\r\sin\varphi\end{array}\right)\quad;\quad r\in[0;4]\quad;\quad\varphi\in\left[-\frac{\pi}{2};+\frac{\pi}{2}\right]\quad;\quad dx\,dy=r\,dr\,d\varphi$$Das Intervall von \(r\) sichert die Bedingung \(0\le x^2+y^2\le16\) und das Intervall von \(\varphi\) sichert die Bedinung \(x\ge0\). Beim Übergang von kartesischen Koordinaten zu Polarkoordinaten muss noch das Flächenelement mit dem Faktor \(r\) multipliziert werden:

$$\int_Gxy^2dx\,dy=\int\limits_0^4dr\,r\int\limits_{-\pi/2}^{\pi/2}d\varphi\,\underbrace{r\cos\varphi}_{=x}\cdot \underbrace{r^2\sin^2\varphi}_{=y^2}=\int\limits_0^4dr\,r^4\int\limits_{-\pi/2}^{\pi/2}d\varphi\,\cos\varphi\cdot\sin^2\varphi$$$$\quad=\int\limits_0^4dr\,r^4\left[\frac{1}{3}\sin^3\varphi\right]_{-\pi/2}^{\pi/2}=\int\limits_0^4dr\,r^4\left(\frac{1}{3}-\left(-\frac{1}{3}\right)\right)=\int\limits_0^4\frac{2}{3}r^4\,dr$$$$\quad=\frac{2}{3}\cdot\left[\frac{r^5}{5}\right]_0^4=\frac{2\cdot4^5}{3\cdot5}=\frac{2048}{15}$$