Wann Partialbruchzerlegung anwenden beim Integrieren

Question

Aufgabe:

$$ 2 \cdot \int _ { 0 } ^ { 1 } \frac { d t } { ( 1 + t ) ^ { 2 } } $$

$$ \int _ { 1 } ^ { 2 } \frac { 3 } { t \cdot ( 1 + t ) } d x $$

Problem/Ansatz:

Warum muss man bei dem zweiten Integral PBZ anwenden, beim ersten kann man jedoch einfach ganz normal integrieren wie bei jedem anderen Polynom. Dabei hat das zweite Integral ja eigentlich auch einfach ein Polynom unter dem Bruch.

Vielen Dank im Voraus :)

Answer 1

Vom ersten Term findet man über Integration durch Substitution eine Stammfunktion. Da hier z = 1 + t substituiert werden würde kann man sich das auch sparen, weil die Ableitung von 1 + t eh einfach nur 1 ist.

∫ 1/(1 + t)^2 dt = ∫ (1 + t)^(-2) dt = -(1 + t)^(-1) + C

Bei Zweiten lässt sich das t nicht einfach substituieren. Daher probiert man es über Partialbruchzerlegung.

3/(t·(1 + t)) = 3/t - 3/(t + 1)

Dann hätte man zwei Summanden die man über die Summenregel getrennt recht einfach integrieren kann.

Answer 2

Warum muss man bei dem zweiten Integral PBZ anwenden?

Muß man nicht.

Klammere im Nenner t aus.

Substituiere dann z=(1/t )+1)

Zugegeben, das macht kaum jemand , aber beantwortet die Frage.

Bei der 2. Aufgabe bietet sich schon von der Struktur die PBZ an.

Diese würde ich dann empfehlen.Es gehört auch sicher ein bisschen Übung dazu.