Basis von einer Matrix und Lösungen von LGS mit minimaler Länge

Question

Ich habe die Matrix A=[(1 2 2),(2 0 2),(1 2 3),(2 1 3)] und b=(2,3,5) und soll nun ein x0∈ L={x ∈ℝn: Ax=b}≠∅ finden mit ||x0||<||x|| finden mit x0≠x.

Im ersten Schritt haben wir aufgeschrieben dass man zuerst Ax=b lösen muss. Wenn ich das mache, erhalte ich x=(1,0,1,0)

Also 2. Schritt muss ich jetzt die Orthogonalbasis von N(A)^⊥=SR(A^t) berechnen.

Mir ist generell klar, wie ich eine Orthogonalbasis bestimme, wenn ich die Basis gegeben habe. Zur Basis selber habe ich jetzt eine Frage. Wir haben aufgeschrieben, dass man eine Basis bestimmen sol. Wenn ich jetzt nicht sehe, dass gilt

erste Spalte von A^t + 2 Spalte von A^t= 3Spalte von A^t

wie bestimme ich hier dann meine Basis? Also rein rechnerisch meine ich.

Es ist doch SR(A^t)=Bild(A) ={(1,1,2),(0,1,1)}

Wir erhalten aber als Basis die Vektoren (1,2,1,2) und (0,-2,1,-1)

Kann mir jemand weiterhelfen???

Comments

(1,0,1,0) löst doch die zweite Gleichung nicht.

Answer 1

Nimm doch Deine Matrix A^T und bring Sie mit Hilfe von Gauss auf die Zeilenstufenform:

$$\begin{pmatrix} 1 & 1& 2  \\ 2 & 0& 2 \\1 & 2& 3\\ 2 & 1& 3\end{pmatrix} ->\begin{pmatrix} 1 & 1& 2  \\ 0 & -2& -2 \\0 & 1& 1\\ 0 & -1& -1\end{pmatrix}->\begin{pmatrix} 1 & 1& 2  \\ 0 & -2& -2 \\0 & 0& 0\\ 0 & 0& 0\end{pmatrix}$$

Jetzt siehst Du, dass der erste und der zweite Vektor Deiner Ausgangsmatrix linear unabhängig sind. Also bilden

$$\begin{pmatrix} 1  \\ 2 \\1 \\ 2 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1  \\ 0\\2 \\ 1 \end{pmatrix}$$ Die Basis des Spaltenraumes von A^T und somit des Bildes von A^T

Ich komme dann bei x₀ auf x₀=(17/35 , -6/35, 37/35 , 2/5)

Comments

Oh sorry mir fällt gerade auf dass ich die Matrix A falsch aufgeschrieben habe. Sie muss lauten

A=[(1 2 1 2),(1 0 2 1),(2 2 3 3)]

und was ich oben stehen habe ist A^t

Dann ist x=(1, 0, 1, 0) die Lösung von Ax=b

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Kann mir niemand weiterhelfen und sagen wie ich die Basis berechne?

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Ok danke das hab ich verstanden. Und wenn ich den Spaltenraum von A^T berechnen soll und A^T eine 4x3 Matrix ist, hat dann der Spaltenvektor immer die Dimension 4x1?

Und nie 3x1??

Weil ich habe eigentlich gedacht dass der Spaltenraum von A^T = Bild(A) ist und das ist hier doch dann die Menge M={(1,1,2)(0,1,1)} oder liege ich da falsch?

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A^T ist doch die Matrix, die ich oben angeben habe. Die Spaltenvektoren sind doch Elemente des IR⁴. Das Bild(A) ist doch die Menge aller Linearkombination der Spaltenvektoren von A, also Elemente des IR³.