Exponentialfunktionen Mathe LK NRW Abitur 2019

Question

Aufgabe:

fk(x)=x^3-3*k^2*x

Dargestellte Graphen mit den Werten: k=0, k=0,75, k=1

c) Für jede reelle Zahl k>0 ist durch tk: y=(0,75-3*k^2)*x+0,25 eine Tangente an den Graphen von fk im Punkt Pk(-0,5/ fk (-0,5)) gegeben. (Nachweis nicht erforderlich.

(1) Zeichnen Sie die Tangente t1 in die Abbildung 2 ein.

(2) Die Tangente tk und der Graph von fk schließen eine Fläche ein.

Weisen Sie zunächst nach, dass die Differenzfunktion dk mit dk(x)=tk(x)-fk(x) nicht vom Parameter k abhängt.

Bestimmen Sie den Inhalt der eingeschlossenen Fläche (Zur Kontrolle: Die gemeinsamen Punkte der Tangente tk und des Graphen von fk liegen bei x=-0,5 und x=1)

(3)Zeigen Sie: Für jede reelle Zahl r>0 ist die Gerade durch die Punkte Ar;k(-r/fk(-r)) und Br;k(2*r/fk(2*r)) eine Tangente an den Graphen von fk an der Stelle x=-r

Problem/Ansatz:

Ich würde gerne die Rechenschritte dazu wissen.

Answer 1

y = ( 0,75-3*k^2) * x + 0,25
fk (x) = x^3 - 3*k^2*x

( 0,75-3*k^2) * x + 0,25 minus (  x^3-3*k^2*x )
 0,75 * x - 3*k^2 * x + 0,25 - x^3 + 3*k^2*x

3 * k^2 * x entfällt
d ( x ) = 0,75 * x + 0,25 - x^3

A = 0.422

Falls noch Fragen vorhanden, dann frag nach.

Comments

Eine Exponentialfunktion wie in deiner
Überschrift angegeben ist das aber nicht.

Exponentialfunktion : x ist im Exponenten
Beispiel a^x

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Die Fläche ist übrigens 27/64. Das darf man bevor man rundet auch so stehenlassen.

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Das Matheprogramm lieferte 0.421875.
Aus Fauheitsgründen habe ich gerundet.

Reisetip des Tages von unserem Leser Klaus C.
aus K.
Wenn ich in New York bin jogge ich immer im Central Park. Unten am Hudson ist es mir zu windig.

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wieso entfällt 3*k^2*x?

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siehe oben
0,75 * x - 3*k^2 * x + 0,25 - x^3 + 3*k^2 * x
hebt sich auf

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Okay hatte ich übersehen. Jetzt habe ich es verstanden

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Wie löse ich den. (3) könntest du mir da auch helfen?

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Die Berechnungen zu Fuß sind doch ein
wenig umfangreicher. Es wurde ein Matheprogramm
verwendet.
Durfte bei der Aufgabe Mathe LK NRW auch ein
Programm verwendet werden ?

Hintergrund Berührpunkt
t ( x ) = Tangentengleichung ( Gerade )
f ( x ) = t ( x ) | Koordinaten gleich
f ´( x ) = t ´( x ) | Steigung gleich

Hier zunächst die Berechnung der Tangenten-
gleichung

t ( x ) = x * ( 2 * k^2 - r^2 * 3 ) + 2 * r^3

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f  ( x ) = x^3 - 3*k^2*x
f ´( x ) = 3*x^2 - 3*k^2
t ( x ) = 2*r^3 - x*(3*k^2 - 3*r^2)
t ´( x ) =  - 3 * k^2 + 3 * r^2

f  ( -r ) = (-r)^3 - 3*k^2*(-r)
t ( -r ) =  2*r^3 - (-r)*(3*k^2 - 3*r^2)
t ( -r ) =  2*r^3 - 3*k^2*(-r) - 3*r^3
t ( -r ) = ( -r)^3 - 3*k^2*(-r)
f ( -r ) = t (-r)

f ´( -r ) = 3*(-r)^2 - 3*k^2
t ´ =  3 * r^2  - 3 * k^2
f ´= t ´

Für x = -r ist
f ( -r ) = t ( -r )
f ´ (-r ) = t ´

Schau noch einmal nach.
Die Vorzeichen bei t ´ könnten eventuell nicht
ganz passen.

Bei Bedarf nachfragen.

Answer 2

Wo liegen deine Probleme

(1) Zeichnen Sie die Tangente t1 in die Abbildung 2 ein.

Ersetze in der Tangentengleichung das k durch 1 und vereinfache die Funktion und zeichne sie mit Punkt und Steigung ein.

Comments

Wieso muss ich k durch 1 ersetzen?

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Der Auftrag lautete

(1) Zeichnen Sie die Tangente t1 in die Abbildung 2 ein.

Schau mal wie die Tangenten definiert waren

Für jede reelle Zahl k>0 ist durch tk: y=(0,75-3*k2)*x+0,25 eine Tangente an den Graphen von fk im Punkt Pk(-0,5/ fk (-0,5)) gegeben.

Man hat also die Tangenten tk und soll davon t1 zeichnen. Erkennst du den Zusammenhang?