Aloha :)
Ich dachte, dass die bisher gegebene Lösung ausreicht und wollte mir eigentlich die Schreibarbeit sparen. Aber da du ja noch nicht so richtig überzeugt zu sein scheinst, möchte ich hier mit dir gemeinsam den Lösungsweg aus dem Hinweis gehen.
Bei einer Binomialverteilung tritt ein Ereignis entweder mit der Wahrscheinlichkeit \(p\) ein oder mit der Wahrscheinlichkeit \(1-p\) nicht ein. Die Wahrscheinlichkeit \(P(k)\) für das genau \(k\)-malige Eintreten des Ereignisses bei \(n\) Versuchen ist:
$$P(k)=\binom{n}{k}p^k(1-p)^{n-k}$$Das Problem ist hier, dass du \(n\) und \(p\) nicht kennst. Du kennst aber den Erwartungswert der Binomialverteilung \(\mu=n\cdot p\), nämlich 4,7 Unfälle pro Monat, und du weißt, dass du sehr viele Versuche hast, \(n\gg1\) (also viele Autos, die die Kreuzung nutzen), die mit sehr geringer Wahrscheinlichkeit \(p\ll1\) zum Eintreten des Ereignisses (Unfall) führen, also ist auch \(k\ll n\). Mit diesen Feststellungen formen wir zunächst die Formel für die Binomialverteilung um:
$$P(k)=\frac{n!}{k!(n-k)!}\,p^k(1-p)^n(1-p)^{-k}=\frac{1}{k!}\,\frac{n!}{(n-k)!}\,\left(\frac{p}{1-p}\right)^k\,(1-p)^n$$$$\phantom{P(k)}=\frac{1}{k!}\,\underbrace{n(n-1)(n-2)\cdots(n-k+1)}_{k\;Faktoren}\left(\frac{p}{1-p}\right)^k\left(1-\frac{np}{n}\right)^n$$Jetzt führen wir 3 Näherungen durch.
(1) Da \(k\ll n\) ist, nähern wir \(n(n-1)(n-2)\cdots(n-k+1)\approx n^k\). Beim Ersetzen der \(k\) Faktoren durch \(n^k\), vergrößern wir den Wert von \(P(k)\) ein wenig.
(2) Wegen \(p<<1\) ist \(\frac{p}{1-p}\approx p\). Wir nähern daher \(\left(\frac{p}{1-p}\right)^k\approx p^k\). Dabei verringern wir den Wert von \(P(k)\) ein wenig.
(3) Schließlich erinnert der Term \(\left(1-\frac{np}{n}\right)^n\) stark an \(\left(1+\frac{x}{n}\right)^n\) mit \(x=-np\), und bekanntlich ist \(\lim\limits_{n\to\infty}\left(1+\frac{x}{n}\right)^n=e^x\). Weil hier \(n\gg1\) gilt, können wir \(\left(1-\frac{np}{n}\right)^n\approx e^{-np}\) nähern.
Die Anwendung aller 3 Teilnäherungen ergibt nun:$$P(k)\approx\frac{1}{k!}\,n^k\,p^k\,e^{-np}\quad\text{bzw.}\quad \boxed{P(k)=\frac{\mu^k}{k!}\,e^{-\mu}\;\;;\;\;\mu=np}$$Aus der Potenzreihe der Exponentialfunktion, \(e^{\mu}=\sum\limits_{k=0}^{\infty}\frac{\mu^k}{k!}\), folgt sofort, dass die Summe von \(P(k)\) über alle \(k\) gleich \(1\) ist. Die genäherte Wahrscheinlichkeitsverteilung für \(P(k)\) heißt Poisson-Verteilung und wird auch die "Verteilung der seltenen Ereignisse" genannt.
Jetzt kommt der einfache Teil, nämlich das Einsetzen der konkreten Werte. Gesucht ist \(P(\le2)\) mit \(\mu=4,7\):
$$P(\le2)=\frac{1}{e^\mu}\left(\frac{\mu^0}{0!}+\frac{\mu^1}{1!}+\frac{\mu^2}{2!}\right)=\frac{1}{e^{4,7}}\left(1+4,7+\frac{4,7^2}{2}\right)=15,23\%$$
