Annuitätentilgung: Immobilienkredit wird innerhalb von 24 Jahren bei einem Zinssatz von 2,25 % getilgt

Question

Aufgabe:

Ein Immobilienkredit über 624.000 € wird innerhalb von 24 Jahren bei einem Zinssatz von 2,25% getilgt. Es wird Annuitätentilgung vereinbart.

a) Berechnen Sie die Annuität?

b) Wie hoch ist die Restschuld am Ende des 17. Jahres? Welchen Gesamtbetrag muss der Schuldner insgesamt bezahlen?

c) Wie hoch ist die anfängliche, relative Tilgungsrate?

d) Als Alternative soll nun die Ratentilgung geprüft werden. Welchen Gesamtbetrag müsste der Schuldner in diesem Fall bezahlen?

Problem/Ansatz:

Das geht in die Wirtschafts- und Finanzmathematik hinein. Ich finde im Buch sowie im Internet keine Formel zu der Teilaufgabe c) und d) verstehe ich komplett nicht. Kann mir jemand die Aufgaben berechnen?

Answer 1

a) Laut Definition im Internet:

$$Annuität A=Kreditbetrag*(1+Zinssatz)^{Jahre}*\frac{Zinssatz}{(1+Zinssatz)^{Jahre}-1}$$

Also bei deinem Fall

$$A=624000*(1,0225)^{24}*\frac{0,0225}{1,0225^{24}-1} ≈ 33933,26$$

b) Restschuld K_j rekursiv am Ende eines jeden Jahres J in Abhängigkeit des Jahresanfangskredites K_j-1 und der Jahresanfangszinsen Z_j-1 (Zinssatz ZS):

$$K_{j}=K_{j-1}-(A-Z_{j-1})$$

mit

$$Z_{j-1}=K_{j-1}*ZS$$

Also zu

$$K_j=K_{j-1}-A+K_{j-1}*ZS$$

$$K_0=624000$$

$$K_1=624000-33933,26+624000*0,0225≈604106,74$$

...

$$K_{17}≈217520,63$$

Alternativ auch über Umformungen zu

$$K_j=K_0*(1+ZS)^j-A*\sum \limits_{k=1}^{j}\begin{pmatrix} j\\k-1 \end{pmatrix}*ZS^{j-k}$$

Insgesamt muss der Schuldner 24 Jahre lang konstante Annuität zahlen, d.h. $$Gesamtbetrag=24*A=24*33933,26≈814398,24$$

c) Anfängliche Tilgungsrate T:

$$T_1=A-Z_{0}=A-ZS*K_{0}≈19893,26$$

d) Tilgungsrate konstant, Annuität jedoch veränderlich

$$A_{j}= \frac{624000}{24}+Z_{j-1}=\frac{624000}{24}+ZS*K_{j-1}$$

mit K₀ = 624000 und

$$K_{j}=K_0-j*\frac{624000}{24}$$

$$A_{ges}=\frac{624000}{24}*24+ZS*\sum \limits_{j=1}^{24}K_0-(j-1)*\frac{624000}{24}$$

$$A_{ges}=624000+0,0225*\sum \limits_{j=1}^{24}624000 -(j-1)*\frac{624000}{24}$$

$$A_{ges}=799500$$

Comments

Könntest du den letzten Teil der Formel A_ges in den Taschenrechner zeigen, wie du den eingibst? Komme nicht auf den Wert am Ende.

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Mal bei WolframAlpha eingetippt (siehe Bild).

Im Prinzip könntest du K₀ = 624000 auch ausklammern, habe ich aber hier mal nicht gemacht.

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Super, vielen Dank. Musste mit dem TR mit dem Summenzeichen anders machen und jetzt komme ich auch auf dem Wert:

Answer 2

$R=S_{0} \cdot \frac{(1+i)^{n} \cdot i}{(1+i)^{n}-1}=S_{0} \cdot \frac{q^{n} \cdot i}{q^{n}-1}$

R ist die jährliche Annuität, S₀  die Kreditsumme 624000€, i ist der Zinssatz 0,025 und n die Laufzeit in Jahren, also 24. q=1+i=1,025

Die Restschuld S_t nach t=17 Jahren berechnest du mit

$S_{t}=S_{0} \cdot \frac{q^{n}-q^{t}}{q^{n}-1}$

Quelle: Wikipedia, Stichwort Annuität

Answer 3

b) S(17) = 624000*1,0225¹⁷ - A*(1,0225¹⁷-1)/0,0225