Lineare (Un)abhängigkeit in abstrakten Vektorräumen

Question

Es geht bei meiner Frage um folgende Aufgabe:


Es seien ein Körper K, ein K-Vektorraum V und v, w, x, y e V gegeben. Zeigen oder widerlegen Sie:

(a) Wenn (v, w) und (v, x) und (w, x) jeweils linear unabhängig in V sind, dann ist auch (v, w, x) linear
unabhängig in V .

- Scheint mir zu stimmen, da ja alle Körperkombinationen untereinander linear unabhängig sind, warum sollten dann alle 3 zusammen nicht linear unabhängig sein. Allerdings, wie beweise ich es? So ein Körper ist doch linear unabhängig, wenn man daraus die Einheitsmatrix bilden kann und nirgends eine Nullzeile steht.

(b) Es ist (v +w+x+y, -v +2w+2x+y, -v +w+x+3y, -v  -x+y, w+x -y) stets linear abhängig in V .

(c) Genau dann ist (v + w + x + y; -v + 2w + 2x + y, -v + w + x + 3y, -v  -x + y) linear abhängig in V ,
wenn (v, w, x, y) linear abhängig in V ist.

Bei b) und c) verstehe ich die Formeln schonmal nicht. Werden da die Zeilen des Körpers sozusagen um die Operationen die danach stehen umgeformt oder was bedeuten die Formeln?


Schonmal danke für die Denkanstöße und Hilfen!

Comments

Bei b) ist ein 5-Tupel von Vektoren gemeint (a,b,c,d,e), wobei a = v+w+x+y, b = -v+2w+2x+y, ... wobei v,w,x,y beliebige Vektoren sind. Und du sollst zeigen, dass a,b,c,d,e linear abhängig sind.

Bei c) musst du beide Richtungen zeigen ("Genau dann..."). Da ist es ein 4-Tupel. Also du musst zeigen: (a,b,c,d) linear abhängig in V => v,w,x,y linear abhängig in V. Und v,w,x,y linear abhängig in V => (a,b,c,d) linear abhängig in V.

Hatte jetzt bei c) a,b,c,d nicht ausgeschrieben, aber damit ist wieder a = v+w+x+y, b = -v+2w+2x+y, ... gemeint.

Bei b) muss man einfach nur zeigen, dass das daraus resultierende Gleichungssystem eine Lösung hat, welche von der trivialen Lösung (alle Faktoren 0) verschieden ist. Dann sind die Vektoren linear abhängig.

Bei c) weiss ich jetzt nicht.

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Ahh ok, danke, so hab ich das gar nicht erkannt :D

Allerdings komme ich bei dem Beweis schon bei a nicht wirklich weiter

Answer 1

Hallo,

(a) kann man nicht beweisen, weil die Aussage falsch ist.
Sei \(V=K^2\) und \(v=(1,0)^T,w=(0,1)^T,x=(1,1)^T\).
Dann sind diese Vektoren linear unabhängig,
aber die Menge \(\{v,w,x\}\) ist linear abhängig; denn
\(x-v-w=0\).

Gruß ermanus