Extremwertaufgabe: Tüte aus einer kreisrunden Pappscheibe basteln

Question

Aufgabe:

Aus einer kreisrunden Pappscheibe von 20 cm Durchmesser soll eine kegelförmige Tüte gebaut werden. Wie muss der Radius r und die Höhe h der Tüte gewählt werden, damit die Tüte das größtmögliche Volumen hat? Bestimme das Volumen.

Answer 1

NB:
r^2 + h^2 = R^2 → r^2 = R^2 - h^2

HB:
V = 1/3·pi·r^2·h
V = 1/3·pi·(R^2 - h^2)·h
V = 1/3·pi·(R^2·h - h^3)
V' = 1/3·pi·(R^2 - 3·h^2) = 0 → h = √(1/3)·R

r^2 = R^2 - (√3/3·R)^2 → r = √(2/3)·R

Comments

Für was steht das große R?

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Also ich habe als Formel für das Volumen das maximal werden soll auch V= 1/3pi *r^2*h

Und jetzt fällt mir keine Nebenbedingung ein.

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Das große R steht für den Radius der Pappscheibe.

Das kleine r steht für den Grundkreisradius des Kegels.

Nebenbedingung steht ja oben.

Answer 2

Aloha :)

Der Radius \(r\) der Tüte, die Höhe \(h\) der Tüte und die Länge der Außenkante der Tüte (die gleich dem Radius \(R=20\) der Pappscheibe ist) bilden ein rechtwinkliges Dreieck. Wegen Pythagoras gilt also \(r^2+h^2=R^2=20^2=400\). Das können wir nach \(r^2\) umstellen: \(r^2=400-h^2\).Das Volumen eines Kegels ist \(\frac{1}{3}\) Grundfläche mal Höhe. Die Grundfläche ist ein Kreis mir Radius \(r\) und hat daher die Größe \(\pi\cdot r^2\). Das Volumen des Kegels ist also:$$V=\frac{1}{3}\pi r^2h=\frac{1}{3}\pi\underbrace{(400-h^2)}_{=r^2}=\frac{1}{3}\pi(400h-h^3)$$Das Extremum finden wir, indem die erste Ableitung von \(V(h)\) gleich 0 setzen:$$0\stackrel{!}{=}V'(h)=\frac{1}{3}\pi(400-3h^2)\;\Leftrightarrow\;400-3h^2=0\;\Leftrightarrow\;h=\sqrt{\frac{400}{3}}=\frac{1}{\sqrt 3}\cdot20$$$$r^2=400-h^2=400-\frac{400}{3}=\frac{800}{3}\;\Leftrightarrow\;r=\sqrt{\frac{800}{3}}=\sqrt{\frac{2}{3}}\cdot20$$