Aufgabe:
Beweisen Sie die folgende Formel für alle n Element von N durch vollständige Induktion.
Vollständige Induktion für:
∑k=1n(1−k)=0,5n(1−n)\sum_{k=1}^{n}(1-k)=0,5 n(1-n)k=1∑n(1−k)=0,5n(1−n)
Aloha :)
sn=∑k=1n(1−k)=0,5n(1−n)s_n=\sum\limits_{k=1}^n(1-k)=0,5n(1-n)sn=k=1∑n(1−k)=0,5n(1−n)Verankerung bei n=1:s1=∑k=11(1−k)=1−1=0;0,5⋅1⋅(1−1)=0✓s_1=\sum\limits_{k=1}^1(1-k)=1-1=0\quad;\quad0,5\cdot1\cdot(1-1)=0\quad\checkmarks1=k=1∑1(1−k)=1−1=0;0,5⋅1⋅(1−1)=0✓
Induktionsschritt: n→n+1n\to n+1n→n+1:sn+1=∑k=1n+1(1−k)=∑k=1n(1−k)+(1−(n+1))s_{n+1}=\sum\limits_{k=1}^{n+1}(1-k)=\sum\limits_{k=1}^{n}(1-k)+(1-(n+1))sn+1=k=1∑n+1(1−k)=k=1∑n(1−k)+(1−(n+1))=0,5n(1−n)−n=0,5n−0,5n2−n=−0,5n2−0,5n=0,5n(1-n)-n=0,5n-0,5n^2-n=-0,5n^2-0,5n=0,5n(1−n)−n=0,5n−0,5n2−n=−0,5n2−0,5n=−0,5n(n+1)=0,5(n+1)(−n)=0,5(n+1)(1−(n+1))✓=-0,5n(n+1)=0,5(n+1)(-n)=0,5(n+1)(1-(n+1))\quad\checkmark=−0,5n(n+1)=0,5(n+1)(−n)=0,5(n+1)(1−(n+1))✓
Bis auf Indexverschiebung und Änderung der Reihenfolge ist das der erste Spezialfall hier:
https://de.wikipedia.org/wiki/Arithmetische_Reihe#Spezielle_Summen
EDIT: Habe "Formel" gemacht aus "Funktion". Schaue bei den Definitionen der Begriffe nach, falls das unklar ist.
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