Wie benutze ich den Logarithmus naturalis ln richtig bei (x²+4)e^x = -5xe^x?

Question

Ich würde gerne hier ln ziehen auf beiden Seiten:

(x²+4)e^x = -5xe^x  | ln

ist das =

ln (x²+4) + ln (e^x) = ln |(-5x)| + ln (e^x)

wie würde man das weitermachen?

(ich weiß, dass man x² + 5x +4 = 0 bringen kann, da efunktion nicht 0wird aber ich wollte das üben)

Answer 1

(x²+4)e^x = -5xe^x

(x²+4)e^x +5xe^x =0

e^x( x^2+4 +5x)=0

e^x= 0 ->keine Lösung

x^2+4 +5x=0

Lösung durch pq-Formel:

x₁=-1

x₂=-4

Comments

Das wusste m. doch offensichtlich!

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Danke, aber darum geht es mir nicht. Es geht mir darum, wie der natürliche Logarithmus richtig angewendet wird: ln (x²+4) was passiert hiermit? ln (e^x) ist ja = x aber das vorherige? ebenso wie ln (5x) ?

Answer 2

ln (x²+4) was passiert hiermit?

Gar nichts. Es gibt kein Logarithmengesetz, dass hier eine weitere sinnvolle Trennung erlaubt.

ebenso wie ln (5x) ?

Das könntest du immerhin noch als ln(5) + ln(x) schreiben.

Comments

Wenn mit ln (x²+4) nichts passiert, dann kann ich ja mit der Auflösung nach x der Gleichung nicht weitermachen. Also war ln falsch? ln(x) wäre was?

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Nochmal:

Nach beidseitiger Subtraktion von ln(e^x) wird

ln (x²+4) + ln (e^x) = ln (-5x) + ln (e^x)

zu ln (x²+4)  = ln (-5x) mit der Konsequenz x²+4 = -5x.

Du machst also viel Lärm um nichts.

Answer 3

Ja, das ist richtig, aber was soll es? Als nächstes kannst du auf beiden Seiten
-ln(e) rechnen, und dann ist es weg.

Übrigens: ln(e) ist einfach nur 1.

Mit Exponentenvergleich bekommst du dann sowieso die quadratische Gleichung.

Mit deinem Logarithmieren hast du sogar Glück, dass das nicht in die Hose geht.

Du läufst nämlich Gefahr, negative Werte zu logarithmieren.

Das mit ln(-5x) funktioniert nur deshalb, weil die Gleichung negative Lösungen hat.

Comments

Das Problem mit diesem Weg besteht doch wohl darin, dass der Term auf der rechten Seite nicht unbedingt positiv sein muss und daher Fallunterscheidungen notwendig werden.

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Wenn er nicht positiv wäre, dann müsste das auch für den ihm gleichen Term auf der linken Seite gelten :  (x^2 + 4) * e^x  ≤  0 .  Das mach mir mal vor !

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Ok, das ist ein berechtigter Einwand. Ich formuliere anders: Ohne Bezug auf die linke Seite darf die rechte Seite nicht ohne weitere Überlegungen logarithmiert werden.