Textaufgabe Extrempunkte berechnen

Question

Ein Patient wird mit Fieber in ein Krankenhaus eingeliefert und behandelt. Die Temperaturkurve, welche
seine Körpertemperatur beschreibt, wird durch die Funktion f mit

=-1/16x^4+7/12x³-15/8x²+9/4x+39 mit 0 ≤ t ≤ 5 beschrieben

) Berechnen Sie die höchste und tiefste Temperatur im Verlauf der 5 Tage. Geben Sie auch die
zugehörigen Zeitpunkte an. (Gesucht sind hier die Extrempunkte.)

Ich habe hier den Hochpunkt errechnet mithilfe der Polynomdivision
f´(x)=-1/4x³+1/3/4x²-3/3/4x+9/4
Versuch x=1
Polynomdivision= -1/4x²+1/1/2x-2/1/4
0=-1/4x²+1/1/2x-2/1/4
3=x und 3=x

Aber komme trotzdem nicht weiter..

Bitte um Hilfe

Comments

Vergiss nicht die Intervallgrenzen zu untersuchen.

Answer 1

f(x) = - 1/16·x^4 + 7/12·x^3 - 15/8·x^2 + 9/4·x + 39

f'(x) = - x^3/4 + 7·x^2/4 - 15·x/4 + 9/4 = -1/4·(x - 1)·(x - 3)^2

Ein Extrempunkt (Hochpunkt) bei 1 und ein Sattelpunkt bei 3

f(0) = 39

f(1) = 39.90 (Globales/Lokales Maximum)

f(3) = 39.56 (Sattelpunkt)

f(5) = 37.23 (Globales/Rand Minimum)

Skizze

Answer 2

x=1  f(1)≈39,9
3=x  f(3)≈39,6

Grenze x=5 f(5)≈37,2

Answer 3

Es gibt eine weitere Nullstelle:

https://www.wolframalpha.com/input/?i=factorise+x%5E3-7x%5E2%2B15x-9

x=3 ist eine doppelte Nullstelle.

Answer 4

Nullstelle der ersten Ableitung
x = 1 ( geraten )
Dann Polynomdivision
- 1/4*x^3 + 7/4*x^2 - 15/4*x + 9/4 : x -1 =
- 1/4*x^2 + 3/2*x - 9/4
geht glatt auf, Ergebnis
x = 3

Aber komme trotzdem nicht weiter.

Zur untersuchen

Zur Untersuchung der min-max Temperatur mußt du jetzt untersuchen
f ( 0 ) Randwert
f ( 1 )
f ( 3 )
f ( 5 ) Randwert

f ( 0 ) = 39
f ( 1 ) = 39.9
f ( 3 ) = 39.6
f ( 5 ) = 37.2

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min ( 5 | 37.2 )
max ( 1 | 39.9 )