Mittelparallele zweier Funktionen berechnen

Question

Aufgabe:

Ich habe die Funktion g: 3x-2y+4 = 0 und h=6x-4y-3 = 0

ich muss die Mittelparallel berechnen.

Problem/Ansatz:

Ich habe zwei grundlegende Probleme: Wie kann ich zB von einer FUnktionsgleichung zu einer Koordinatengleichung umformen?

Mein Ansatz: Ich wollte einfach zwei Punkte wählen für g und h. Dann der Vektor aus diesen beiden * 1/2 addiert mit einem Nullvektor damit ich den Punkt M habe. Der Richtungsvektor bleibt ja. Dann hätte ich M. Ich müsste nur noch die Funktion g umwandeln. JEdoch bekomme ich immer die falsche Lösung.. :^(

Answer 1

g: 3x - 2y + 4 = 0
3x - 2y = -4

h: 6x - 4y - 3 = 0
6x - 4y = 3
3x - 2y = 1.5

(-4 + 1.5)/2 = -1.25

Mittelparallele
m: 3x - 2y = -1.25

Answer 2

Aloha :)

Die Idee mit dem Wählen von 2 Punkten ist gut. Das könnte dann so aussehen:

$$g:\;3x-2y+4=0\quad;\quad x=0\Rightarrow y=2\quad;\quad x=2\Rightarrow y=5$$Auf der Geraden $g$ liegen also die Punkte $(0;2)$ und $(2;5)$. In Parameterform lautet $g$ daher:

$$g:\;\vec x=\binom{0}{2}+\lambda\binom{2-0}{5-2}=\binom{0}{2}+\lambda\binom{2}{3}$$Dasselbe machen wir für $h$:

$$h:\;6x-4y-3=0\quad;\quad x=0\Rightarrow y=-\frac{3}{4}\quad;\quad x=2\Rightarrow y=\frac{9}{4}$$Auf der Geraden $h$ liegen also die Punkte $(0;-\frac{3}{4})$ und $(2;\frac{9}{4})$. In Parameterform lautet $h$ daher:

$$h:\;\vec x=\binom{0}{-3/4}+\mu\binom{2-0}{9/4-(-3/4)}=\binom{0}{-3/4}+\mu\binom{2}{3}$$Wie erwartet sind die beiden Richtungsvektoren von $g$ und $h$ gleich. Die Gerade $m$ zwischen $g$ und $h$ muss insbesondere der y-Achse genau zwischen den y-Achsenabschnitten der beiden Geraden liegen.

$$m:\;\vec x=\binom{0}{\frac{2+(-3/4)}{2}}+\nu\binom{2}{3}=\binom{0}{5/8}+\nu\binom{2}{3}$$Oder in Koordinatenform:$$m:\;12x-8y+5=0$$

Eine schnellere Lösung wäre, wenn du die beiden Geradengleichungen einfach etwas umformst:

$$\begin{array}{l}3x-2y+4&=&0\\6x-4x-3&=&0\end{array}\quad\Leftrightarrow\quad\begin{array}{l}12x-8y+16&=&0\\12x-8y-6&=&0\end{array}$$Die Mitte von $16$ und $-6$ ist $\frac{16+(-6)}{2}=5$. Fertig ist die Koordinatenform der Mittelgerade.

Comments

Vielen Dank, hab meinen Fehler gefunden und dieser Ansatz von Dir ist sogar schneller und besser.

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Die Lösung müsste jedoch 12x -8y + 5 sein. ich glaube, man musst die y Punkte addieren und nicht subtrahieren. DIe Hälfte wäre dann der Abstand.

Wie kommt man eigentlich von der Parameterdarstellung zur Koordinatengleichung?

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Oha, ja stimmt. Sorry, war gestern Abend wohl schon was spät!

Man hätte addieren müssen und danach halbieren. Ich korrigiere das gleich.

Danke für den Hinweis.

Von der Parameterdarstellung zur Koordinatendarstellung geht so. Schau dir die Paraemterform für die Mittelgerade an. Es ist:$$x_1=2\nu\quad;\quad x_2=\frac{5}{8}+3\nu$$Aus der erste Gleichung folgt $\nu=x_1/2$, sodass:$$x_2=\frac{5}{8}+3\cdot\frac{x_1}{2}$$Beide Seiten mal $8$:$$8x_2=5+12x_1$$$$12x_1-8x_2+5=0$$

Answer 3

3x-2y+4 = 0
2y = 3x + 4
y = 1.5 * x + 2
g ( x ) = 1.5 * x + 2

6x-4y-3 = 0
4y = 6x - 3
y = 1.5 * x - 3/4
h ( x ) = 1.5 * x - 3/4

Wikipedia
Sind zwei parallele Geraden g und h gegeben, so ist ihre Mittelparallele die Gerade, die von g und h jeweils den gleichen Abstand hat.
Dies ist die am häufigsten benutzte Bedeutung.

mittelgerade = 1.5 * x + 0.625

Comments

mittelgerade = 1.5 * x + 0.625
y = 1.5 * x + 0.625
y - 1.5x - 0.625 = 0 | * ( - 2 )

3x - 2y + 1.25 = 0