(A\B) U C = (A U C) \ (B U C)

Question

Aufgabe

beweisen oder widerlegen Sie:

(A\B) U C = (A U C) \ (B U C)

Problem/Ansatz:

Dank des Forums habe ich schonmal verstanden was die rechte Seite genau bedeutet und habe sie aufgemalt.

Ich kriege aber einfach keinen Ansatz für den Beweis hin.

Answer 1

Aloha :)

Du kannst dir schnell klar machen, dass die Behauptung falsch ist. Bei \((A\setminus B)\cup C\) werden alle Elemente der Menge \(B\) aus der Menge \(A\) entfernt und anschließend werden alle Elemente der Menge \(C\) hinzugefügt. Bei \((A\cup C)\setminus(B\cup C)\) werden zu \(A\) alle Elemente der Menge \(C\) hinzugefügt, anschließend werden alle Elemente der Menge \(B\) und alle Elemente der Menge \(C\) wieder entfernt.

\((A\setminus B)\cup C\) enhält also alle Elemente der Menge \(C\) und \((A\cup C)\setminus(B\cup C)\) enthält keine Elemente der Menge \(C\). Obwohl das eigentlich klar ist, kannst du das mit einem Gegenbeispiel zeigen:

$$A=\{a\}\;;\;B=\{b\}\;;\;C=\{c\}$$$$(A\setminus B)\cup C=\{a,c\}\quad;\quad(A\cup C)\setminus(B\cup C)=\{a,c\}\setminus\{b,c\}=\{a\}$$