Problem mit einer Matrixgleichung

Question

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Ich habe eine Frage zum Thema Matrizen:

Folgende Rechenregel gilt bekanntlich im Allgemeinen nicht: (A+B)^-1 = A^-1 + B^-1

Die Aufgabe lautet: Gesucht sind zwei Matrizen A und B für die die oben gennante, im Allgemeinen falsche Formel "zufällig" richtig ist!

Mit anderen Worten: Gesucht sind zwei Matrizen, dessen Invertierte Summe die Summe der Inversen ist.

Kann mir jemand einen Ansatz oder eine Lösung nennen? Ich habe keine Ahnung wie ich vorgessen soll...



Johnny

Answer 1

Hallo,

mit ein bisschen Rumprobiererei habe ich folgende beiden Matrizen gefunden:
$$A=\frac{1}{2}\left(\begin{array}{cc}1&\sqrt{3}\\-\sqrt{3}&1\end{array}\right)\, , \; B=A^T$$

Es gilt dann \(A=B^T\) und \(AB=I\) und \(A+B=I\), woraus
\((A+B)^{-1}=I^{-1}=I=B+A=A^{-1}+B^{-1}\) folgt.

Man muss halt ein bisschen mit Orthognalmatrizen rumspielen.

Gruß ermanus

Answer 2

Verwende 1×1-Matrizen. Die kannst du wie reelle Zahlen behandeln und du bekommst eine Gleichung, die sich als quadratisch entpuppt.

Comments

Gefragt 20 Nov 2013 von Gast

Hm...

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Ich weiß ja nicht, wie lange du so über ein Problem brütest, aber ich habe damals in den 90ern eine Hausaufgabe von meinem Prof bekommen, die ich bis heute nicht gelöst habe. Hatte irgendwas mit P und nicht P zu tun und ich würde mich über eine Lösung wirklich freuen. Ich glaube ich habe die Aufgabe nicht richtig verstanden, weil das ist ja trivial, dass wenn etwas P ist, dass es nicht nicht P sein kann.

Ich kann mir gut vorstellen, dass es Herrn Gast ähnlich geht und er noch auf eine Antwort hofft.