Supremum, Infimum, Maximum und Minimum von eine Menge

Question

\(\bigcup _ { n \in \mathbb{N} } \left( 1 + \frac { 1 } { 1 + n } , n + 2 \right)\)

\(\bigcap_{n=1}^\infty \left( 1 - \frac { 1 } { n ^ { 2 } } , 2 - \frac { 1 } { n } \right]\)

Ich soll die Supremum, Infimum, Maximum und Minimum von diese zwei Mengen finden.

Ich hab es so überlegt:

1) Die beliebige Vereinigung von alle Intervalle beginnend mit n=0 (wir nehmen 0 als natürliche Zahl).

d.h (2,2) ∪ (3/2 , 3) ∪ ……. bis unendlich. Ich denke dass 2 das Infimum ist, aber es ist kein Minimum seit es in der Intervall nicht erhalten ist,  und es gibt kein Supremum, Maximum.

2) Dies wäre die Durchschnitt von diese Intervallen beginnend mit n=1:

(0,1) ∩ (3/4, 1.5) ∩ …… bis unendlich. Ich hab hier eine Zahlengerade gemacht und ich hab gesehen dass diese Durchschnitt geht nach 1 aber es wird nie 1 sein, bedeutet das, dass in diesem Fall kein Supremum, Infimum, Maximum und Minimum gibt?

Ich bedanke Ihnen viel im Voraus,

Mfg

Answer 1

Ich denke dass 2 das Infimum ist

Du hast selbst schon herausgefunden, dass (3/2, 3) Teilmenge ist, also ist 7/4 in der Menge, weil 3/2 < 7/4 < 3 ist.

und es gibt kein Supremum

Das ist korrekt.

(0,1) ∩ (3/4, 1.5) ∩ …… bis unendlich.

Es handelt sich um halboffene Intervalle, also (0,1] ∩ (3/4, 1.5] ∩ …

Die linke Intervallgrenze konvergiert gegen 1, die rechte gegen ∞. Weil 1 in der Menge enthalten ist, ist das sowohl Maximum als auch Minimum. Wären es offene Intervalle, dann wäre die Menge leer.

Comments

vielen Dank fuer deine Antwort. Also wäre zwei das Infimum aber auch das Minimum seit es in die Menge ist. Und ich hätte noch hier eine Frage, ich bekomme für n=0 das Intervall (2,2), hat es Sinn eine Intervall so zu schreiben?

Und was über die 2) wäre das korrekt?

Ich bedanke dir im Voraus, ich hab wirklich Schwierigkeiten mit diese Fragen,

Mfg

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Also wäre zwei das Infimum

In meiner Antwort habe ich geschrieben, dass 7/4 in der Menge ist. 2 kann schon deshalb nicht das Infimum sein, weil 7/4 < 2 ist.

d.h (2,2) ∪ (3/2 , 3) ∪

Es ist keine schlechte Strategie, sich die ersten paar Glieder explizit hinzuschreiben. Du hast damit aber etwas zu früh aufgehört. Schreibe mal die nächsten zwei oder drei Glieder auch noch mal dazu, dann bekommst du vielleicht einen besseren Eindruck davon, wie sich das ganze entwickelt. Eine Umrechnung in Dezimazahlen schadet hier auch nicht.

Und was über die 2) wäre das korrekt?

Das steht jetzt auch in meiner Antwort.

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Seit es immer kleiner wird, heisst es dann dass es kein Infimum oder Minimum hat?

Ich bedanke Ihnen viel für die andere teil der Antwort, alles is klar jetzt.

Mfg

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Seit es immer kleiner wird, heisst es dann dass es kein Infimum oder Minimum hat?

Die linke Intervallgrenze wird zwar immer kleiner. Das heißt aber nicht, dass es kein Infimum gibt.

Es kann ja sein, dass ein bestimmter Wert nicht unterschritten wird. Dann gibt es zumindest eine untere Schranke. Setze mal die Werte 99, 999 und 9999 für n ein, vielleicht wird es dann klarer, welcher Wert nicht unterschritten wewrden kann.

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Wäre das das 1, oder?  so das 1 als untere schranke und auch als Infimum?

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Ja. BTW 0 ist auch eine untere Schranke, aber eben kein Infimum, weil es eine größere untere Schranke gibt.

Außerdem ist 1 kein Minimum, weil es sebst nicht zur Menge gehört.

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Herzlichen Dank für deine Hilfe und deine Antworten, ich hab das wirklich verstanden. Super!