Ungleichungen Vereinigungsmenge (−∞,−5]∪(−2,1)∪[4,∞)

Question

Habe ich die folgende Aufgabe richtig gelöst?

Neue Version (Vgl. Duplikat):

Geben Sie zu den folgenden Lösungsmengen jeweils eine Ungleichung mit dieser Lösungsmenge an und begründen Sie, warum die angegebene Ungleichung tatsächlich die geforderte Lösungsmenge  hat. (Sie dürfen die Ungleichungen in einer für Sie bequemen Form angeben.)

(−∞,−5]∪(−2,1)∪[4,∞)

Den Anfang habe ich schon:



((x+5)(x+2)^2(x-1)^2(x-4))/((x+2)(x-1))

Comments

Vom Duplikat:

Titel: Ungleichungen, Vereinigungsmenge

Stichworte: ungleichungen

Stimmt hier mein Ansatz?

Wenn nicht, wo liegt der Fehler und wie geht es mit den aufgaben b) und c) weiter?

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Die Durschnittsmenge ist die leere Menge.

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Könnten Sie mir bitte den ausführlichen Rechenweg zeigen?

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Die Frage bezieht sich hierauf?

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Ich sehe keine Ungleichung. Das Ungleichheitszeichen fehlt.

Den Nenner kannst du wegkürzen. Beachte jedoch die Definitionslücken!

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Ja dann habe ich das wohl falsch gemacht, können Sie mir bitte den Lösungsweg hier reinposten.

Mit freundlichen Grüßen

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Die Frage wurde schon hinreichend beantwortet. Frag dort nach wenn du etwas nicht verstehst.

Bzw. setze dich mit dem geschriebenen auseinander.

Welche Lösungsmenge hat

(x - 2) ≥ 0

und welche Lösungsmenge hat

(x - 2) / (x - 2) ≥ 0

Man sollte erwarten das du das schaffst.

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Ich denke es ist ein systematischer Fehler den ich nicht los werde..

Die Lösungsmenge von (x-2) >= 0 ist doch x>= 2 und von (x-2)/(x-2) >=0 /* (x-2)

     (x-2) >= 0 /+2

x >= 2

Leider bin ich weiterhin nicht schlauer geworden. Mir wäre es lieber wenn Sie mir den konkreten Lösungsweg angeben sodass ich die einzelnen Schritte einprägen kann.

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Mach mal die Probe indem du z.B. 2 einsetzt.

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(2-2) >= 0??

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Genau und für

(x-2)/(x-2) >= 0

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Vom Duplikat:

Titel: Ungleichungen aus einer Vereinigungsmenge

Stichworte: ungleichungen

Aus Verzweiflung wende ich mich nochmal an dieses Forum. Folgende Aufgabe habe ich leider nicht bewältigen können und bitte euch nun mir den Lösungsweg zu zeigen.

Mit freundlichen Grüßen

Aufgabenstellung:

Aufgabe 3. Geben Sie zu den folgenden Lösungsmenge  jeweils eine Ungleichung mit dieser Lösungsmenge an und begründen Sie, warum die angegebene Ungleichung tatsächlich die geforderte Lösungsmenge hat. (Sie dürfen die Ungleichung in einer für Sie bequemen Form angeben.)

UPDATE: Ich habe hier etwas versucht, aber weiß nicht ob es richtig ist:

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Es ist schön, wenn du selbst etwas versuchst. Die Fragestellungen musst du abtippen. Ausserdem sind Nachfragen bei den bereits vorhandenen Fragen zu stellen. D.h. Duplikate sind zu vermeiden.

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Ich kann diese VEREINIGUNGSMENGEN leider nicht eingeben bzw. Weiß nicht wie es geht. Und es auszuformulieren wäre bisschen umständlich.

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Das hat oben jemand für dich getan. Daher einfach kopieren.

Alternative u statt ∪ verwenden. Das ist auch verständlich.

Zudem: Keine neue Frage einstellen.

In deinem ersten Bild hattest du allerdings Schnittmengenzeichen verwendet.

Was soll denn nun gelten?

Answer 1

Warum betreibst du so einen Riesenaufwand? Nimm die einfachste mögliche quadratische Funktion, die Nullstellen bei -2 und 1 hat.

Die einfachste Form davon ist f(x)=(x+2)(x-1). Würde man sie ausmultiplizieren, erhielte man

1x²+...

also ist der Graph eine nach oben geöffnete Parabel. Zwischen ihren Nullstellen hat sie negative Funktionswerte, also erhältst du die zugehörige Ungleichung (x+2)(x-1)<0 ohne jeglichen Fallunterscheidungsaufwand.

Comments

Ist das jetzt komplett falsch was da steht?

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Nein, die Ungleichung hast du ja auch erhalten, aber mit welchem Aufwand...

Könntest du Mir sagen wie ich b lösen kann?

Eine quadratische Funktion mit den Nullstellen -5 und 4 aufstellen und dann schauen, ob im Bereich deiner geforderten Lösungsmenge es nun >0 oder <0 heißen muss...

Nimm bei c) entsprechend eine Funktion 4. Grades, deren Nullstellen mit den jeweiligen Intervallgrenzen deiner Lösungsbereiche übereinstimmen...

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Könntest du Mir sagen wie ich b lösen kann?

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lautet die Funktion dann:

(x+5)(x+2)(x-1)(x-4) ?

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Ja. nun musst du nur noch überlegen, ob ...>0 oder ...<0 zur vorgegebenen Lösungsmenge passt.

PS: Oh nein!

Zwei der 4 Intervallgrenzen sollen zur Lösungsmenge gehören, die übrigen zwei aber nicht. Man könnte also mit ≤ bzw. ≥ arbeiten und die zwei Stellen, wo die Gleichheit unerwünscht ist, als hebbare Unstetigkeitsstelle undefiniert machen.

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 Ist das so richtig?

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Nein. Schon die zweite Zeile ist falsch. Also die unter dem roten Kasten.

https://www.wolframalpha.com/input/?i=%28x%2B5%29%28x%2B2%29%28x-1%29%28x-4%29%3E%3D0

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Können Sie mir dann bitte auf die Sprünge helfen.

Verzweifelte Grüße

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Können Sie mir dann bitte auf die Sprünge helfen.

-2 und 1 sollen nicht in der Lösungsmenge sein.

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Wie ich schon oben ergänzt habe: Mache die Funktion an zwei Stellen undefiniert.

Verwende z.B. statt (x+5)(x+2)(x-1)(x-4) besser \( \frac{(x+5)(x+2)^2(x-1)^2(x-4) }{(x+2)(x-1)} \)

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D.h?

Heißt die Funktion dann

(x+5)(x-4) >=0 oder wie?

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@abakus das irritiert mich jetzt noch mehr (die Bruchschreibweise) kannst du das vielleicht zu Ende führen?

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Ist das so richtig ?

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Bist du also jetzt nicht mehr irritiert?

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Doch, sehr wohl, ich versuche dieses Beispiel anhand der vorherigen Vorgehensweise von Ihnen zu lösen. Dieser Bruch macht es mir aber sehr schwer da durchzublicken . Drum bitte ich Sie mir bei dieser Aufgabe ebenfalls den entsprechenden lösungsweg zu zeigen

Lg

Answer 2

Zu b) (x+5)(x-4)>0 hat die geforderte Lösungsmenge. Zur Bestätigung löse die Ungleichung.

Comments

Ich brauche aber die Fallunterscheidung , auf die komme ich einfach nicht. Wären sie so lieb und könnten diese hinzufügen?

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Ich brauche aber die Fallunterscheidung

Wer sagt das? In der Aufgabenstellung lese ich diese Forderung nicht.

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So hatte ich das bei den vorherigen Aufgaben auch gemacht.. um ehrlich gesagt brauche ich den ausführlichen rechenweg

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 Ich meinte es so, aber trotzdem bin ich mir sehr unsicher.

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Lösungsweg der Ungleichung (x+5)(x-4)>0

Ein Produkt ist positiv, wenn beide Faktoren positiv oder wenn beide Faktoren negativ sind, formal:

(x+5>0∧x-4>0)∨(x+5<0∧x-4<0)

(x > - 5∧x > 4) ∨ (x < - 5∧x < 4)

        x > 4        ∨         x < - 5

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Zu b) (x+5)(x-4)>0 hat die geforderte Lösungsmenge.

Gehören -5 und 4 nicht auch in die Lösungsmenge ?

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Ja.. ist der Ansatz von Roland jetzt richtig ?

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Da -5 und 4 auch zur Lösungsmenge gehören sollen, muss überall > durch ≥ und < durch ≤ ersetzt werden.

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Ja.. ist der Ansatz von Roland jetzt richtig ?

Frag nicht nach, sondern entscheide selber ob -5 die Ungleichung erfüllt.

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Wie überprüfe ich dass denn?

Muss ich dann beispielsweise eine kleinere Zahl als 5 in die Funktion einsetzen?

Bsp.: -6

(-6+5)(-6-4) > 0

Aber das ist doch auch bei x größer gleich 4 der Fall.

Bsp.: 5

(5+5)(5-4) > 0

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Korrektur meiner Lösung:

(x+5≥0∧x-4≥0)∨(x+5≤0∧x-4≤0)

(x ≥ - 5∧x ≥ 4) ∨ (x ≤ - 5∧x ≤ 4)

        x ≥ 4        ∨        x ≤ - 5

Answer 3

$$a) \quad (-2, 1)\\ \quad \\ \qquad (x+2)(x-1)<0\\ \quad \\ b) \quad (-\infty, -5] \cup [4, \infty)\\ \quad \\ \qquad (x+5)(x-4) \ge 0\\ \quad \\ c) \quad (-\infty, -5] \cup (-2, 1) \cup [4, \infty)\\ \quad \\ \qquad \frac{(x+5)(x+2)^2(x-1)^2(x-4)}{(x+2)(x-1)} \ge 0$$