Summe in Verbindung mit dem Binomialkoeffizienten

Question

Wo ist mein Fehler? :/  (Musterlösung: =512)

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Lektüretipp:

 Pascaldreieck: http://www.mathematische-basteleien.de/pascaldreieck.htm

Rubrik: Binomialkoeffizienten usw.

Answer 1

Aloha :)

Du hast die Summe falsch interpretiert. Richtig wäre:

$$\sum\limits_{i=0}^5\binom{10}{2i}=\binom{10}{0}+\binom{10}{2}+\binom{10}{4}+\binom{10}{6}+\binom{10}{8}+\binom{10}{10}$$$$=2\cdot\left[\binom{10}{0}+\binom{10}{2}+\binom{10}{4}\right]=2\cdot\left(1+45+210\right)=512$$

Comments

Dankeschön! Kein Wunder, dass es bei mir nicht hinhaut.

Eine Frage hab ich allerdings noch, wie kommst du auf 2* [....] , also auf die 2?

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Der Faktor 2 kommt aus der "Symmetrie" des Binomialkoeffizienten. Es gilt

$$\binom{10}{10}=\binom{10}{10-10}=\binom{10}{0}$$$$\binom{10}{8}=\binom{10}{10-8}=\binom{10}{2}$$$$\binom{10}{6}=\binom{10}{10-6}=\binom{10}{4}$$

Das heißt, für den unteren Wert, kannst du auch die Differenz von oberem und unteren Wert eintragen. Allgmein schreibt man das so:

$$\binom{n}{k}=\binom{n}{n-k}$$

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:)

Das hätte unser Dozent mal sagen sollen....Aber das kann ich sehr gut nachvollziehen.

Danke für die viele Mühe!

Answer 2

Du musst rechnen $$\binom{10}{0}+\binom{10}{2}+\binom{10}{4}+\binom{10}{6}+\binom{10}{8}+\binom{10}{10}$$ und kannst noch die Symmetrie ausnutzen, also  $$\binom{n}{k} = \binom{n}{n-k}$$