Beweisen : f ist injektiv ⇔ ∀ X, Y ⊆ A. f(X ∩ Y ) = f(X) ∩ f(Y ).

Question

Aufgabe:

Sei f : A → B eine Funktion.

Hinweis: f(X) ist hier die mengenwertige Fortsetzung von f, also f(X) =df {f(a) | a ∈ X}.

Problem/Ansatz:

Wie kann man das beweisen?

Comments

Schau mal hier, Seite 3 unten:

http://numerik.mi.fu-berlin.de/wiki/SS_2013/Vorlesungen/AnalysisI_Dokumente/Analysis1_Lsg2.pdf

Answer 1

Es genügt, zwei Dinge zu zeigen:

1. f ist injektiv ⇒ ∀ X, Y ⊆ A. f(X ∩ Y) = f(X) ∩ f(Y ).
   
2. (∀ X, Y ⊆ A. f(X ∩ Y ) = f(X) ∩ f(Y )) ⇒ f ist injektiv.

Zu 1. Sei f injektiv.

Seien X, Y ⊆ A und b ∈ f(X ∩ Y).

Sei a ∈ X ∩ Y mit f(a) = b. Dann ist a ∈ X und a ∈ Y. Also ist auch f(a) ∈ f(X) und f(a) ∈ f(Y). Somit ist f(a) ∈ f(X) ∩ f(Y), also b ∈ f(X) ∩ f(Y). Es gilt also

        f(X ∩ Y) ⊆ f(X) ∩ f(Y).

Seien nun X, Y ⊆ A und b ∈ f(X) ∩ f(Y). Dann ist b ∈ f(X) und b ∈ f(Y).

Seien a_X ∈ X und a_Y ∈ Y mit f(a_X) = b und f(a_Y) = b. Weil f injektiv ist, ist dann a_X = a_Y. Also ist a_X ∈ Y und somit a_X ∈ X ∩ Y. Demanch ist auch b ∈ f(X ∩ Y). Es gilt also auch

        f(X) ∩ f(Y) ⊆ f(X ∩ Y).

Also gilt

        f ist injektiv ⇒ ∀ X, Y ⊆ A. f(X ∩ Y) = f(X) ∩ f(Y ).

Zu 2. Selbst machen.