Integral von einer Funktion mit Fallunterscheidung

Question

 

Angenommen ich habe eine Funktion g(t) mit

g(t) = α , falls t <= 0

g(t) = β, falls  0 < t <= 5

g(t) = γ, falls 5 < t <= 10

g(t) = 0, sonst

α, β, γ sind hierbei beliebige Terme. 

Wie genau berechne ich das Integral G(x) = \( \int\limits_{n}^{m} \) g(t) dt?

Muss ich erst die Grenzen einsetzen und mithilfe einer Fallunterscheidung alle möglichen Fälle von n und m durchgehen, oder reicht es wenn ich eine Fallunterscheidung über t mache.

Comments

Es gibt hier nur drei relevante Intervalle...

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Nichtsdestotrotz ist der letzte Fall wichtig.

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Was genau willst du denn eigentlich berechnen?

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Oben ist mir ein Fehler unterlaufen, G(x) sollte so aussehen

G(x) = \( \int\limits_{m}^{x} \)   g(t) dt, m beliebig.

Vielleicht hilft ein Beispiel um mein Anliegen verständlicher rüber zu bringen.

Sei x = 10, m = -5

\( \int\limits_{-5}^{10} \)  g(t) dt 

Da ich keine Information über t habe, müsste ich ja jetzt einen Fallunterscheid für g(t) machen.

Falls t <= 0

\( \int\limits_{-5}^{10} \)  α dt

Falls t > 0 und t <=5:

etc.

Oder muss ich abhängig von den Grenzen g(t) bestimmen.

Also:

G(x) = [G(x) - G(m)]_-5¹⁰

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Ok, du hast $$g(t)=\begin{cases} \alpha(t), & \textrm{falls }t\le0\\ \beta(t), & \textrm{falls }0<t\le5\\ \gamma(t), & \textrm{falls }5<t\le10\\ 0 & \textrm{sonst} \end{cases}$$ und suchst \(G(x)\) mit $$G(x) = \int_{-\infty}^{x}g(t)\text{ d}t \text{ ?}$$

(PS: untere Grenze zu -∞ berichtigt.)

Answer 1

Du gibst nicht an in welchen Intervallen n und m überhaupt
liegen. Wie Funktionen überhaupt ausschauen bzw
wie integriert werden muß.
Allgemein läßt sich deine Frage nicht beantworten.