Komplexe Gleichung lösen

Question

Aufgabe;

z∈ℂ mit z²-(4z-2i)z+3-4i = 4

Problem/Ansatz:

Ich verstehe nicht wie es weiter gehen soll.

es gab als Hinweis, das wir die binomischen Formeln anwenden sollten.

Also hab ich:

z² - 4z + 2zi + 3- 4i = 4

z²- 4z + (2z-4)i + 3= 4

z² - 4z + 3 + (2z-4)i = 4

*pq-Formel*

-(-\( \frac{4}{2} \))±√((-\( \frac{4}{2} \))²-3 )

2 ± √(1)

z₁= 3

z₂= 1

Außerdem hab ich

z²-(4z-2i)z+3-4i = 4 zu (z-1)(z-3)(2z-4)i = 4 

umgeformt,  weiß aber nicht ob es mir hier weiterhelfen wird

Comments

Links steht bereits ein vollständiges Binom, falls es so heißen sollte:$$\qquad\quad z^2-(4-2\mathrm i)z+(3-4\mathrm i)=4\\\iff\big(z-(2-\mathrm i)\big)^2=2^2.$$

Answer 1

Aloha :)

$$\left.z^2-(4z-2i)z+3-4i=4\quad\right|\;\text{Klammer ausrechnen}$$$$\left.z^2-4z^2+2iz+3-4i=4\quad\right|\;\text{zusammenfassen}$$$$\left.-3z^2+2iz+3-4i=4\quad\right|\;-3+4i$$$$\left.-3z^2+2iz=1+4i\quad\right|\;:(-3)$$$$\left.z^2-\frac{2i}{3}z=-\frac{1+4i}{3}\quad\right|\;+\left(\frac{i}{3}\right)^2$$$$\left.z^2-\frac{2i}{3}z+\left(\frac{i}{3}\right)^2=-\frac{1+4i}{3}+\frac{i^2}{9}\quad\right.$$$$\left.\left(z-\frac{i}{3}\right)^2=-\frac{3+12i}{9}-\frac{1}{9}\quad\right.$$$$\left.\left(z-\frac{i}{3}\right)^2=-\frac{4+12i}{9}\quad\right|\;\sqrt{\cdots}$$$$\left.z-\frac{i}{3}=\pm\frac{2}{3}\,i\,\sqrt{1+3i}\quad\right|\;+\frac{i}{3}$$$$z=\frac{i}{3}\pm\frac{2}{3}\,i\sqrt{1+3i}$$$$z=\frac{i\pm2i\sqrt{1+3i}}{3}$$

Comments

Vielen dank! aber eine Frage noch nach dem ich die Klammer

ausrechne ohne danach zusammenzufassen

könnte ich doch so umformen das ich die zweite binomische Formel anwenden kann nicht wahr?

Mein Fehler hab davor mit '-' statt mit 'z' die Klammer anfangs ausgerechnet ^^'

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Hab einen Fehler bei der Aufgabe bemerkt.. in der Klammer sollte (4-2i) stehen

tut mir leid

Aber trotzdem ich denke ich habs jetzt verstanden

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Das Rechenverfahren ist dasselbe, wenn du die Klammer korrigierst. Falls du nicht klar kommst, frag bitte einfach nochmal nach ;)

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(\( \frac{i}{3} \))² in Zeile 5 kommt aus (z-\( \frac{i}{3} \))²  Korrekt?

Aber wenn ich die Klammer Auflöse würde auf der Linken Seite (\( \frac{i}{3} \))² und um es auf die Rechte Seite zu bringen müsste ich |-(\( \frac{i}{3} \))² rechnen

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$$\left.z^2-(4-2i)z+3-4i=4\quad\right|\;\text{-3+4i}$$$$\left.z^2-(4-2i)z=1+4i\quad\right|\;+(2-i)^2$$$$\left.z^2-(4-2i)z+(2-i)^2=1+4i+(4-4i+i^2)\quad\right.$$$$\left.(z-(2-i))^2=4\quad\right|\;:\sqrt{\cdots}$$$$\left.z-(2-i)=\pm2\quad\right|\;+(2-i)$$$$z=2\pm2-i$$$$z_1=-i\quad;\quad z_2=4-i$$

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Also..

Ich verstehe das (2-i)² = -3+4i ist nur nachdem du es auf die Rechte Seite gebracht hast

wie kannst du es wieder hervor holen? Ist das ein Art Verfahren oder ist im Allgemeinen erlaubt?

Wie ist (4-4i+i²) Zustande gekommen?

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Im ersten Schritt addiere ich auf beiden Seiten der Gleichung \(-3+4i\), damit links alle Summanden mit einem \(z\) stehen und rechts alle Summanden ohne \(z\).

Im zweiten Schritt habe ich eine quadratische Ergänzung durchgeführt. Da steht ja auf der linken Seite:$$z^2-(4-2i)z$$Die quadratische Ergänzung bekommst du, indem du den Faktor vor dem \(z\) halbierst und dann quadrierst. Der Faktor vor dem \(z\) ist \((4-2i)\). Die Hälfte davon ist \((2-i)\) und das zum Quadrat ist \((2-i)^2\). Das addiere ich auf beiden Seiten. Dann steht links:

$$z^2-(4-2i)z+(2-i)^2$$und das kann man schreiben als \([z-(2-i)]^2\). Die quadratische Ergänzung ist gerade so gebaut, dass man diese Umformung machen kann. Du kannst das auch mit der 2-ten binomischen Formel nachrechnen. So, die linke Seite von Gleichung 3 haben wir damit. Jetzt zur rechten Seite. Ich muss die quadratische Ergänzung auf beiden Seiten des Gleichheitszeichens addieren. Daher wird die rechte von Gleichung 3 zu:$$1+4i+(2-i)^2$$Das hätte ich vielleicht auch so hinschreiben sollen, stattdessen habe ich das Quadrat direkt ausgerechnet:$$1+4i+(2-i)^2=1+4i+(4-4i+i^2)$$Sorry, da hätte ich wohl ausführlicher sein sollen.

Answer 2

Du musst z ausklammern:

z² - 4z + 2zi + 3- 4i = 4

z^2-(4-2i)*z-1-4i =0

...

Comments

Bringt das irgendwelche Vorteile? oder muss das ganz einfach so sein?

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Bringt das irgendwelche Vorteile?

Ja. Du hast dann eine quadratische Gleichung der Form z² + pz + q = 0 , die man zum Beispiel mit der pq-Formel lösen kann.