Gleichung mit Betrag: |x + 1|−|x−1| = 1

Question

Aufgabe:

Auflösen nach x von folgender Gleichung

|x + 1|−|x−1| = 1
Problem/Ansatz:

Die Lösung ist ja 1/2. Aber ich komme immer nur auf -1/2 oder durch quadrieren auf sehr komische werte die beim einsetzen nicht stimmen.

das ist bisher mein bester ansatz:

|x|+|1|+(-1)*(|x|-|1|)=1

|x|+|1|+|-x|+|1|=1

x+1+x+1=1

2x+2=1 /-2

2x=-1 /:2

x=-1/2

vielleicht habe ich irgendwo einen Vorzeichenfehler oder so ,bin jetzt schon 45 min an der Gleichung und krieg es einfach nicht raus.

MfG Marco

Answer 1

Es kommt x=\( \frac{1}{2} \) heraus. Ich habe zuerst drei Fälle unterschieden

x< - 1

-1<x<1

1<x

und in jedem Falle überlegt, was beim Weglassen der Betragsstriche geschehen muss.

Comments

Sollte es nicht so lauten:

x< - 1

-1≤x<1

1≤x

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Man stellt leicht fest, dass die Fälle x=1 und x= - 1 gar nicht in Frage kommen.

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Stimmt, aber sollte nicht formal der komplette Zahlenstrahl lückenlos erfasst werden?

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Man muss nicht Sachverhalte die man ohne Schwierigkeiten sofort sieht, problematisieren, nur um der Vollständigkeit zu genügen.

Ich habe übrigens nur beschrieben, wie ich vorgegangen bin. Du kannst machen, was du willst.

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Das geht hier, weil ein Sonderfall vorliegt. Meist ist das aber nicht der Fall.

Daher bevorzuge ich die allgemein gültige Form, zumal das kein zusätzlicher

Aufwand ist. Oder sehe ich das falsch?

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Du hast recht und ich hab meine Ruhe.

Answer 2

Mit einer Skizze, ist das einfach und übersichtlich:

~plot~ abs(x + 1) ; abs(x-1) + 1 ~plot~

|x + 1|−|x−1| = 1     | + |x-1|

|x + 1| = |x-1| + 1

Du kannst die Lösungsmenge L= {1/2} ablesen oder nötigenfalls berechnen. Da du nun weisst, dass die Lösung zwischen -1 und 1 liegt, brauchst du nur diesen Fall in einer allfälligen Rechnung zu berücksichtigen.

[spoiler]

Fall -1 < x < 1

|x + 1|−|x−1| = 1

(x+1)- (-(x-1)) = 1

(x+1) - (-x+1) = 1

x + 1 + x - 1 = 1

2x = 1

x = 1/2 

Answer 3

Hier einmal die komplette Berechnung durch
Fallunterscheidung

        1             2               3
<------------|-------------|---------->
                -1               1

1) : x < -1 :
|x + 1|−|x−1| = 1
es gilt
(x+1)*(-1) -(x-1)*(-1) = 1
-x - 1 + x  - 1 = 1
-2 = 1
Nix

2).-1 < x <  1
|x + 1|−|x−1| = 1
es gilt
(x+1)  - (x-1)*(-1) = 1
x+1 + x - 1 = 1
2x = 1
x = 1/2

3).x > 1
|x + 1|−|x−1| = 1
es gilt
(x+1)  - (x-1)  = 1
0 = 1
Nix

Frag nach bis alle Klarheiten beseitigt sind.

Comments

Beim 3. Fall muss es 2=1 heißen. Das ist aber auch "Nix".      :-)

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Danke für den Fehlerhinweis.