Zeigen Sie, dass für alle x,y E X gilt: [x] ∩ [y] ≠ Ø <=> [x] = [y].

Question

Aufgabe: Gegeben Sei eine Menge X und eine Äquivalenzrelation ~ auf X. Weiterhin bezeichnet [x] die Äquivalenzklasse für das Element x E X. Zeigen Sie, dass für alle x,y E X gilt: [x] ∩ [y] ≠ Ø <=> [x] = [y].

, ich bin neu auf der Uni und bräuchte einmal den Lösungsweg damit ich die Aufgabe verstehe. Ich wäre euch dafür sehr dankbar!

Answer 1

Zeigen Sie, dass für alle x,y E X gilt: [x] ∩ [y] ≠ Ø <=> [x] = [y].

zu <==:    Seien x,y ∈ X  mit  [x] = [y].

==>  : [x] ∩ [y]  = [x] ≠ Ø, weil z.B.  x∈[x] wegen der 
Reflexivität der Äquivalenzrelation.

==>:   Seien x,y ∈ X  mit  [x] ∩ [y] ≠ Ø .

Sei also a ∈  [x] ∩ [y]

==>     a~x und a~y wegen der Symmetrie von ~ also auch

         x~aund a~y und wegen der Transitivität also

     auch  x~y  ==>   [x] = [y].